【神經網路】激活函數面面觀

01-28

日常 coding 中，我們會很自然的使用一些激活函數，比如：sigmoid、ReLU等等。不過好像忘了問自己一( $n$ )件事：

為什麼需要激活函數？

激活函數都有哪些？都長什麼樣？有哪些優缺點？

怎麼選用激活函數？

本文正是基於這些問題展開的，歡迎批評指正！

(此圖並沒有什麼卵用，純屬為了裝x ...)

Why use activation functions?

激活函數通常有如下一些性質：

非線性：當激活函數是線性的時候，一個兩層的神經網路就可以逼近基本上所有的函數了。但是，如果激活函數是恆等激活函數的時候（即 $f(x)=x$ ），就不滿足這個性質了，而且如果 MLP 使用的是恆等激活函數，那麼其實整個網路跟單層神經網路是等價的。
可微性：當優化方法是基於梯度的時候，這個性質是必須的。
單調性：當激活函數是單調的時候，單層網路能夠保證是凸函數。
$f(x)approx x$ ：當激活函數滿足這個性質的時候，如果參數的初始化是random的很小的值，那麼神經網路的訓練將會很高效；如果不滿足這個性質，那麼就需要很用心的去設置初始值。
輸出值的範圍：當激活函數輸出值是有限的時候，基於梯度的優化方法會更加穩定，因為特徵的表示受有限權值的影響更顯著；當激活函數的輸出是無限的時候，模型的訓練會更加高效，不過在這種情況小，一般需要更小的learning rate.

這些性質，也正是我們使用激活函數的原因！

Activation Functions.

Sigmoid

Sigmoid 是常用的非線性的激活函數，它的數學形式如下： $f(x)=frac{1}{1+e^{-x}}$

正如前一節提到的，它能夠把輸入的連續實值「壓縮」到0和1之間。

特別的，如果是非常大的負數，那麼輸出就是0；如果是非常大的正數，輸出就是1.

sigmoid 函數曾經被使用的很多，不過近年來，用它的人越來越少了。主要是因為它的一些缺點：

Sigmoids saturate and kill gradients. sigmoid 有一個非常致命的缺點，當輸入非常大或者非常小的時候，這些神經元的梯度是接近於0的，從圖中可以看出梯度的趨勢。所以，你需要尤其注意參數的初始值來盡量避免saturation的情況。如果你的初始值很大的話，大部分神經元可能都會處在saturation的狀態而把gradient kill掉，這會導致網路變的很難學習。
Sigmoid 的 output 不是0均值. 這是不可取的，因為這會導致後一層的神經元將得到上一層輸出的非0均值的信號作為輸入。產生的一個結果就是：如果數據進入神經元的時候是正的(e.g. x>0 elementwise in $f=w^T x + b$ )，那麼 w 計算出的梯度也會始終都是正的。
當然了，如果你是按batch去訓練，那麼那個batch可能得到不同的信號，所以這個問題還是可以緩解一下的。因此，非0均值這個問題雖然會產生一些不好的影響，不過跟上面提到的 kill gradients 問題相比還是要好很多的。

tanh

tanh 是上圖中的右圖，可以看出，tanh 跟sigmoid還是很像的，實際上，tanh 是sigmoid的變形： $tanh(x)=2sigmoid(2x)-1$

與 sigmoid 不同的是，tanh 是0均值的。因此，實際應用中，tanh 會比 sigmoid 更好（畢竟去粗取精了嘛）。

ReLU

近年來，ReLU 變的越來越受歡迎。它的數學表達式如下：

$f(x) = max(0, x)$

很顯然，從圖左可以看出，輸入信號 <0 時，輸出都是0; >0 的情況下，輸出等於輸入。w 是二維的情況下，使用ReLU之後的效果如下：

ReLU 的優點：

Krizhevsky et al.發現使用 ReLU 得到的SGD的收斂速度會比 sigmoid/tanh 快很多(看右圖)。有人說這是因為它是linear，而且 non-saturating
相比於 sigmoid/tanh，ReLU 只需要一個閾值就可以得到激活值，而不用去算一大堆複雜的運算。

ReLU 的缺點：當然 ReLU 也有缺點，就是訓練的時候很"脆弱"，很容易就"die"了. 什麼意思呢？

舉個例子：一個非常大的梯度流過一個 ReLU 神經元，更新過參數之後，這個神經元再也不會對任何數據有激活現象了。

如果這個情況發生了，那麼這個神經元的梯度就永遠都會是0.

實際操作中，如果你的learning rate 很大，那麼很有可能你網路中的40%的神經元都"dead"了。

當然，如果你設置了一個合適的較小的learning rate，這個問題發生的情況其實也不會太頻繁。

Leaky-ReLU、P-ReLU、R-ReLU

Leaky ReLUs：就是用來解決這個 "dying ReLU" 的問題的。與 ReLU 不同的是：

$f(x)=alpha x$ (x < 0)

$f(x)=x$ (x >= 0)

這裡的 $alpha$ 是一個很小的常數。這樣，即修正了數據分布，又保留了一些負軸的值，使得負軸信息不會全部丟失。

關於Leaky ReLU 的效果，眾說紛紜，沒有清晰的定論。有些人做了實驗發現 Leaky ReLU 表現的很好；有些實驗則證明並不是這樣。

Parametric ReLU： 對於 Leaky ReLU 中的 $alpha$ ，通常都是通過先驗知識人工賦值的。

然而可以觀察到，損失函數對 $alpha$ 的導數我們是可以求得的，可不可以將它作為一個參數進行訓練呢？

Kaiming He的論文《Delving Deep into Rectifiers: Surpassing Human-Level Performance on ImageNet Classification》指出，不僅可以訓練，而且效果更好。

公式非常簡單，反向傳播至未激活前的神經元的公式就不寫了，很容易就能得到。對 $alpha$ 的導數如下：

$frac{delta y_i}{delta alpha}=0, if y_{i}>0;else =y_{i}$

原文說使用了Parametric ReLU後，最終效果比不用提高了1.03%.

Randomized ReLU：

Randomized Leaky ReLU 是 leaky ReLU 的random 版本（ $alpha$ 是random的）.

它首次試在 kaggle 的NDSB 比賽中被提出的。

核心思想就是，在訓練過程中， $alpha$ 是從一個高斯分布 $U(l,u)$ 中隨機出來的，然後再測試過程中進行修正（有點像dropout的用法）。

數學表示如下：

在測試階段，把訓練過程中所有的 $alpha_{ij}$ 取個平均值。NDSB 冠軍的 $alpha$ 是從 $U(3,8)$ 中隨機出來的。那麼，在測試階段，激活函數就是就是： $y_{ij} = frac{x_{ij}}{frac{l+u}{2}}$

看看 cifar-100 中的實驗結果：

Maxout

Maxout出現在ICML2013上，作者Goodfellow將maxout和dropout結合後，號稱在MNIST, CIFAR-10, CIFAR-100, SVHN這4個數據上都取得了start-of-art的識別率。

Maxout 公式如下：

$f_i(x)=max_{jin [1,k]}z_{ij}$

假設 $w$ 是2維，那麼有：

$f(x)=max(w_1^Tx+b_1,w_2^Tx+b_2)$

可以注意到，ReLU 和 Leaky ReLU 都是它的一個變形（比如， $w_1, b_1 = 0$ 的時候，就是 ReLU）.

Maxout的擬合能力是非常強的，它可以擬合任意的的凸函數。作者從數學的角度上也證明了這個結論，即只需2個maxout節點就可以擬合任意的凸函數了（相減），前提是」隱隱含層」節點的個數可以任意多.

所以，Maxout 具有 ReLU 的優點（如：計算簡單，不會 saturation），同時又沒有 ReLU 的一些缺點（如：容易 go die）。不過呢，還是有一些缺點的嘛：就是把參數double了。

還有其他一些激活函數，請看下錶：

How to choose a activation function?

怎麼選擇激活函數呢？

我覺得這種問題不可能有定論的吧，只能說是個人建議。

如果你使用 ReLU，那麼一定要小心設置 learning rate，而且要注意不要讓你的網路出現很多 "dead" 神經元，如果這個問題不好解決，那麼可以試試 Leaky ReLU、PReLU 或者 Maxout.

友情提醒：最好不要用 sigmoid，你可以試試 tanh，不過可以預期它的效果會比不上 ReLU 和 Maxout.

還有，通常來說，很少會把各種激活函數串起來在一個網路中使用的。

Reference

[1]. http://www.faqs.org/faqs/ai-faq/neural-nets/part2/section-10.html
[2]. http://papers.nips.cc/paper/874-how-to-choose-an-activation-function.pdf
[3]. https://en.wikipedia.org/wiki/Activation_function
[4]. http://cs231n.github.io/neural-networks-1

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