拉普拉斯方程之美：萬物的數學之匙

物理是一個天生自帶暗語密碼的學科。而正是這些密碼將宇宙里的各種秘密轉為人類語言。它們可以把最純粹的數學和任意物理下的分科聯合在一起。而這，正是其中之一。

它存在於電磁學，存在於流體力學，存在於萬有引力，存在於熱力學，也存在於表面張力里。它，乃是拉普拉斯方程。它，無處不在。

拉普拉斯方程是由皮埃爾-西蒙·拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace）首先提出而得名的。拉普拉斯則是一位世界著名的法國數學家，在維基百科上甚至有數個被冠以他的名字的頁面。在1799年，他證明了在天文時間單位里，太陽系是一個穩定的系統，推翻了一個世紀前牛頓的假設。在這個過程中，拉普拉斯方程誕生了。

皮埃爾-西蒙·拉普拉斯

它只有5個符號。被平方的一個名為向量運算元的倒三角，希臘字母phi，等號，零。通過這五個符號，拉普拉斯讀懂了宇宙。

Phi，這個方程的精髓，通常代表勢能。雖然它也可以代表其他的數值，但是在這裡，我們將Phi定為代表一片陸地每一點的海拔。山坡上的Phi很大，山谷里的Phi則很小。

被一系列運算所代表的向量運算元平方被稱之為拉普拉斯運算元。它所測量的是在這篇陸地上移動時Phi值升降之間的平衡。

在山頂上，不論任何方向，唯一的可能就是海拔的下降，因為它已是最高點。這時的拉普拉斯運算元是負數，因為下降值比上升值大。山谷底則完全相反，正數的拉普拉斯運算元是因為唯一的可能就是上升。而在這兩者之間則存在著一處平衡點，在那，一步可能帶來的上升和下降完全相同。在這處平衡點上，拉普拉斯運算元為零。

在拉普拉斯方程里，一片陸地上所有地點的拉普拉斯運算元都等於零。而這有兩個結果。第一，在任何一個位置上，你都可以上升或下降相同的海拔。第二，一片陸地最高和最低的phi值都只能存在於邊境。這是因為，如果phi值有變，它只能在抵達峰頂或谷底之前發生。

現實的地面很難符合拉普拉斯方程，但是皂膜不一樣。把一個鐵圈放進肥皂水裡再拿出來，你將發現製造出來的皂膜會沒有任何起伏。你可以拿著鐵圈換一換姿勢，但是你會發現你沒有任何辦法使皂膜高出或底出鐵圈。從任何角度來看，鐵圈的邊緣都是這個平面的最高與最低點。

皂膜之所以形成這個形狀是由於表面張力導致的。但是拉普拉斯運算元完美的預料到並描述了它。而且你要記住，拉普拉斯發明出這個方程的原因是因為它描述了整個太陽系。

讓我們用另外一個例子來描述拉普拉斯方程。想像一塊帶電荷的金屬在空無一物的太空中。通常，太空中是沒有電壓的。但是，此時金屬附近的空間會有和金屬相似的電壓。距離金屬更遠的空間電壓則會更小，但只有在離金屬無窮遠的時候電壓才會為零。當你離開金屬所在的那點，你不會測量到任何電壓的波動，因為沒有任何其他電荷來導致電壓波動。電壓只會隨著距離的增加而變小。

如果你想知道空間里任何一點的電壓，你只需要解開拉普拉斯方程。

聽起來很難？不用擔心，拉普拉斯方程厲害之處在於，如果你想解開皂膜的拉普拉斯方程，你在最後一步之前不需要任何關於鐵圈的數值。所有的步驟完全獨立於鐵圈。所以，你可以把它完美的套用在電壓的計算上。除了最後一步，這個方程不會有一丁點的改變。

同樣，它可以被運用在任何地方，只要你把最後一步改好。引力在物體表面最大，但是會漸進歸零，拉普拉斯方程可以計算它。水流的速度在被阻礙時為零，但是在遠處則不會有任何影響，拉普拉斯同樣好使。鼓面被緊固在鼓上，它的表面張力使它持平，拉普拉斯對它也有效。

橫跨宇宙，橫跨教室，橫跨研究，只要你注意找，拉普拉斯方程必然會出現。而你，只需要解它一次。

來源：連線 翻譯：羊羽