模擬電路基礎之頻率響應（一）極點的物理意義

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前三章大致講了一下增益和等效電阻的計算，從gm到diode到cascode。作者君覺得一般的電路里，需要計算增益的時候，掌握了這三個關鍵點，也就基本足夠應付了。其他的就是「無他，唯手熟爾」了。

因此作者君決定挑另外一根硬骨頭啃啃。這根硬骨頭就是「頻率響應」。古往今來，多少英雄豪傑面對著紛繁複雜的零極點，紛紛折腰。這到底是為什麼呢？

那個……要不要貼幾張bode圖？那個……要不要看看根軌跡圖？……

那個，你還是讓我去牆角蹲著吧……

各種大牛的書里，比如如下的傳輸函數transfer function：

Analog integrated circuit design / Tony Chan Carusone, David A. Johns, Kenneth W. Martin. —2nd ed. Wiley, 2011. P145.

上面是Ken Martin的書里chapter 4里剛開篇便擺出來的一個公式。是不是覺得光是看看就有些暈？零極點一下子全都涌了出來了……

算了，我們還是從最基本的零極點的物理意義開始講起吧！

我們來看張圖：

一個R和一個C，便構成了一個最基本的極點。它的傳輸函數如圖所示，是1/（1+RCS）.因為s等於j $omega$ ，所以這裡的RC造成了一個左半平面的極點： $-frac{1}{RC}$ 。

等等！現實中怎麼會有負數的頻率呢？

所以，如果input signal裡面有這樣一個等於1/RC的頻率（如果是以Hz為單位，應該除以 $2pi$ ）,那麼會發生什麼事情呢？

將 $omega =1/RC$ 帶入上面的傳輸函數，這個傳輸函數的amplitude response就變成了 $frac{1}{sqrt{2} }$ .

哦！原來在bode圖裡，遇到一個極點就會有-3dB（ $20lg(1/sqrt{2}) =-3dB$ ）的下降，跟這個確實可以對應起來呢！

Source: Bode plot (Figure 1(b): The Bode plot for a first-order (one-pole)lowpass filter; the straight-line approximations are labeled "Bode pole"; phase is 90° lower than for Figure 1(a) because the phase contribution of the numerator is 0° at all frequencies.)

好吧！上面我們還是圍繞著傳輸函數的公式打轉，但是！但是為什麼會有恰好等於一半的amplitude response呢？

重新回到上面的圖。一個信號經過一個R，會有一部分能量被R以熱能的方式散發出去。但是對於信號本身的頻率、相位這些參數，R其實是沒什麼影響的。但是！但是還有一個C啊！這麼大一個電容連著output和gnd，你不能忽視人家嘛！

C和R不同的地方，在於它並不消耗能量，但是卻會改變相位。當input變化的時候，C上面的電壓也會跟著變化。這個不甘寂寞的C有個獨門秘技：「吸和放」！也就是說，當加在它上面的電壓忽然變化的時候，它會先吸走一部分，然後過一會再把被它吸走的電子重新放出來。

你見過月圓之夜時，清冷的月光灑在海面，深深的海底，巨蚌一張一合的樣子嗎？

那個，嘿嘿，不好意思啊，作者君也沒見過……不過看小說看過……

好了，不插科打諢了。總之，C就是個這麼神經兮兮的傢伙。它明明不要你的電子，但是就是不情不願的要阻攔一下你的信號，過一會兒再放一部分電子出來。

因為這個討厭的傢伙，你的信號被攔腰劫走了一部分。

$H(S)=frac{1}{1+j} =frac{1}{sqrt{2} } e^{-jfrac{pi }{4} }$

寫成這樣，我們可以看出來，若是輸入信號的頻率恰好等於 $frac{1}{RC}$ ，那麼傳輸函數變成為了上面那個樣子。增益變成了 $frac{1}{sqrt{2} }$ ，相位下降了45°。

為什麼是45°呢？因為C這個傢伙是故意等了90°之後才不情願的放出了你的信號。因為一部分（當 $omega =frac{1}{RC}$ 的時候，恰好是一半）逃出C的魔掌的信號沒有相位的延遲，而另外一部分不那麼幸運的信號就被C戲弄了一番之後放了出來。所以最後在output看到的總的效果就是延時了45°。嗯，不是90°，也不是0°，就是一半，45°呢！

所以，若是想讓我們的信號特別厲害，不受到這個討厭的C的毒害，我們的信號應該變成什麼樣呢？讓我想想……那就是傳輸函數不就是1了嗎！那個時候，我們的信號就別含變化量，直接是個DC的值，那麼只對變化量感興趣的C就懶得理你了！

還有，什麼時候我們的信號被侵蝕得特別厲害，比如完全沒有了？再讓我想想……那就是大部分，或者說是幾乎全部的信號都要先被C吸走再放出來吧？如果現在有個特別特別高頻的信號，C就變得特別興奮了。對於高頻的信號，C的內力變強，傳輸函數包含s的那項遠大於後面那個1，因而傳輸函數就變得無限趨近於零了。

嗯，好像input信號的具體頻率其實起到了這樣一個效果：它決定了是從R直接到output的信號分量多呢？還是被C戲弄的信號分量多。

話說，R和C的具體值也是很有意義的吧？

那當然了。作者君每次都朝著極端的情況想：

比如，若是我沒有這個R，就一個孤零零的C，結果會怎樣？那就是input直接和output短接在一起了吧？那還擔心C幹嘛？

$H(S)=frac{1}{1+RCS} simeq 1$

或者，若是R無限大，又會怎樣呢？額，信號花了九牛二虎之力，才勉勉強強的穿過R的重重包圍到了output這邊。結果前有狼後有虎，剛過來便又遇到一個虎視眈眈的C在output這裡。唉！還是直接投降，任人魚肉算了！C要戲弄就讓它戲弄好了……

$H(S)=frac{1}{1+RCS} simeq frac{1}{RCS}= frac{1}{RCjomega }rightarrow 0$

所以，1/RC的值和信號頻率的相對位置，才是關鍵之處啊！若是RC超級小（比如很小的C只對更高的頻率感興趣。對於一些kHz什麼的小嘍啰，人家根本不care），我們的信號還是很安全的。但若是RC超級大，比如有個巨無霸的C，就是那種巨大的巨蚌啦！人家什麼都喜歡，來者不拒，你的kHz的信號也是它的愛好之一，那麼你就慘慘慘了……

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