引力波與激光：愛因斯坦在1916

封面圖：愛因斯坦在柏林的書房，1916年。圖片來源：Wikimedia

編者按：

1916年，愛因斯坦預言引力波，並提出量子電磁輻射理論、完善光子概念。

百年之後，愛因斯坦預言的引力波通過激光的干涉被探測到，而激光正是基於量子電磁輻射理論。LIGO的技術還與愛因斯坦的光子概念和布朗運動理論相關。

LIGO探測到引力波是對愛因斯坦兩方面工作共同的一百周年紀念， 一方面是廣義相對論和引力波，另一方面是量子電磁輻射理論。這是屬於愛因斯坦的獨特的幸運。

文｜施郁（復旦大學物理學系教授）

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1.引言

2015年9月14日，美國的激光干涉引力波天文台（LIGO）探測到來自13億光年外的兩個黑洞併合所產生的引力波。論文於2016年2月12日發表 [1,2]。而在100年前，1915年的11月，愛因斯坦完成了廣義相對論的創立, 並算出太陽附近光線偏折和水星進動的正確結果 [3,4]； 半年之後，1916年6月，愛因斯坦預言了引力波 [5]。

有趣的是，在LIGO探測引力波的技術中，激光以及愛因斯坦1905年首先在理論上發現的光子扮演了重要的角色，而激光的理論基礎和光子概念的完善正是愛因斯坦1916年提出的量子電磁輻射理論。另外，LIGO的探測技術也涉及愛因斯坦的布朗運動理論。

更有趣的是，愛因斯坦的量子電磁輻射理論的建立正好緊接著引力波的工作。

這些偉大工作的過程是什麼樣的？它們是如何發生的？它們的發生有沒有關聯？在這篇文章中，筆者在梳理LIGO技術中的「愛因斯坦元素」後，試圖勾勒出愛因斯坦當時在引力和量子論兩方面的工作情況。

2.引力波探測技術中的「愛因斯坦元素」

2.1 激光與光子

根據LIGO官網的介紹 [6]，LIGO目前在美國有兩個相距3002公里的探測器，而每個探測器是一個巨大的邁克爾孫干涉儀（Michelson Interferometer），有兩條4公里長、相互垂直的長臂。在干涉儀中，一束激光被分成兩束，分別在兩臂中傳播，最後再重新匯聚，從而發生干涉，干涉的情況取決於兩臂的長度之差。引力波是時空度規的擾動，是橫波（傳播方向垂直於振動平面），當它通過引力波探測器時，引起這兩臂長度的不同改變，而光速保持不變，因此導致干涉信號的改變。LIGO測量兩臂長度的改變，從而探測引力波。而兩個探測器協同工作，可以排除單個探測器附近其它因素導致的長度改變。在排除掉其它原因後，通過與理論計算結果的比較，就可以把兩臂長度變化歸因於引力波。

兩束相同頻率的單色光發生干涉，總強度取決於二者的相位差。假設這兩束光從同一初始位置出發，經過不同的路徑花費不同的時間，最後到達同一位置。它們的相位差就等於兩者經歷的時間差乘以頻率，再乘以2π。時間差就是距離差除以光速，頻率是周期的倒數，光速乘以周期（即光速除以頻率）就是波長。因此相位差也等於距離差除以這兩束光的波長，再乘以2π。光的波長和周期都很短，所以干涉儀可以測量很小的距離差或時間差。1880年代，美國物理學家邁克爾孫設計出以他名字命名的干涉儀，在兩條互相垂直、長度相等的路徑末端放置反射鏡，使得兩束光匯聚到起始的分光鏡。 他用它來測量光波的媒介（以太）相對於地球的速度。如果存在以太，因為地球在運動，那麼對於不同方向的相同距離，光傳播的時間就會不同，從而導致相位差。 1887年，邁克爾孫和莫雷( E. W. Morley) 確定了地球相對於以太的速度為零。荷蘭物理學家洛倫茲 （H. A. Lorentz）曾用同一坐標系中長度的物理變化來解釋這個零結果。而作為相對論的另一位先驅，法國數學家兼物理學家龐加萊（H. Poincare）注意到不同地點的同時性概念存在問題。1905年，愛因斯坦提出狹義相對論，以光速不變原理和相對性原理取代了以太假說，即以太不存在，光的傳播不需要媒介。

現代的邁克爾孫干涉儀當然要用激光，因為它具有高度的空間相干和時間相干，在空間上和頻率上都很集中。以激光為基礎的邁克爾孫—莫雷實驗的精度達到10-15[7]，而LIGO能夠測量到10-19米的長度變化（這次引力波事件導致4x10-18米的變化[1])，這對探測到引力波起到了關鍵作用。

激光的英文laser是Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation的縮寫，意思是受激輻射引起的光放大。這裡的輻射是指量子電磁輻射，光是指可見光，是某個頻率段的電磁波。激光於1960年發明，它的基礎就是愛因斯坦的量子電磁輻射理論中首次提出的受激輻射。愛因斯坦指出，電子在電磁場中存在吸收、自發輻射、受激輻射三種過程，他通過考慮它們的平衡，給出了普朗克輻射公式的新推導。在激光器中，增益介質中的電子在入射光中被激發到高能態，導致高能態的電子多於低能態的電子，即所謂的粒子數反轉。高能態電子回落到低能態時，又輻射出電磁波，這就是愛因斯坦首先指出的受激輻射，也是激光全稱中「放大（amplified）」一詞的由來。受激輻射發出的光的頻率、相位和偏振都是一致的，從而具有高度相干性。

LIGO的光學系統由激光、鏡子和光探測器組成，其穩定性由抗干擾的衰減系統和超真空（真空度僅次於大型強子對撞機，LHC）保證。從激光二極體產生的4瓦、波長808納米的激光進入到一個被稱作非平面圈振蕩器的晶體激光裝置，產生2瓦、波長1064納米的受激輻射，然後它再進入另一個放大裝置，變成20瓦、波長1064納米的激光。據稱在這個波段，這是世界上最穩定的激光 [6]。然後藉助於在分束器前面的若干「能量循環」（power recycling）半透鏡, 將激光的功率提高到700瓦後進入分束器 [1]。

入射激光被分束器分到相互垂直的兩臂。每個臂都在一個法布里—珀羅（Fabry-Pero）腔里，藉助於兩端的鏡子使得激光在裡面來回反射很多次，光路從單程4公里放大到約等於引力波的波長的四分之一，從而使得測量效果最佳。對於100赫茲的引力波來說，這個長度是750公里。光程越長，對儀器的振動也越敏感。因為每束光要被鏡子發射很多次，所以為了光路的精確，鏡面的製作被控制到原子量級。同時，在法布里—珀羅腔里，激光功率放大到100千瓦（將來可以達到750千瓦） [1]，從而使參與探測的光子大大增加，降低雜訊並提高靈敏度。

鏡子會吸收光，而LIGO的鏡子（又稱測試質量,test mass）由氫氧化物含量低的超純度的石英玻璃製成。每330萬個入射光子中，只有一個光子被吸收致熱。有一個輔助系統用二氧化碳激光加熱，精確抵消主激光導致的形變 [6]。

電磁場的真空漲落導致光子到達鏡子的時間和光子數目的漲落，說明光是由光子組成的。前者被稱作光子顆粒雜訊，與真空的相位漲落相關，頻率較高（200赫茲以上）, 是LIGO的高頻雜訊的主要來源，因此決定了LIGO測量微小距離的基本極限。後者與真空的振幅漲落相關，頻率較低，導致光對鏡子的輻射壓的漲落，從而又導致鏡子位置的漲落。它們統稱為量子雜訊。量子雜訊可以通過調節光學系統（比如激光功率和鏡子的質量）和空腔的參數來克服，也可以用處於壓縮態（振幅和相位的漲落的乘積達到海森堡不確定關係所允許的最小值）的激光來解決。所以引力波探測與量子測量這兩個領域有密切關係。比如，量子測量的專家布拉津斯基（V. Braginsky）和凱夫斯（C. Caves）原來都是從事引力波探測的。

而這些物理問題可以追溯到愛因斯坦1905年提出的光量子概念以及他1916年的量子電磁輻射理論。

2.2 熱雜訊

LIGO的光學系統非常敏感，因此需要克服非常小的干擾。為克服環境擾動，LIGO設置了一套有幾百個層次的複雜的反饋控制系統。首先是要克服鏡子內部和周邊的原子的無規運動。每個鏡子（40公斤重）吊在一個360公斤的4極單擺中。懸掛系統由兩個鏈（主鏈和反應鏈）組成。主鏈從上到下有4個質量，上面兩個是鋼，下面兩個是石英玻璃。這個材料的力學損耗低。最下面的石英玻璃就是鏡子，尺寸34厘米x20厘米，由整體的石英玻璃纖維懸掛，以盡量降低熱雜訊。反應鏈最下端的與測試質量平行的是反應質量。干涉儀的每個臂兩端的鏡子之間的距離的穩定（變化不超過10-12米）通過反應質量來保證。反應質量與測試質量之間由磁體聯繫。

防振的第一道防線是一個主動衰減隔離系統，通過位置和振動感測器與永磁體調節器共同抵消外部運動。 這將系統與10赫茲以上的地面運動隔離3個數量級， 導致懸掛系統受到的振動干擾小於2x10-13米。上節所述的懸掛系統作為被動隔離系統，再繼續將噪音降低7個數量級，從而達到10-19 米的敏感度。

頻率在10至100赫茲的熱雜訊也是主要雜訊之一，它來自鏡子與懸掛系統中經典布朗運動，以及鏡子光學塗層的力學損耗 [1,6]。所以鏡子塗層所用的材料（硅和摻鈦的鉭氧化物的介電多層膜）既有高反射率，也盡量降低熱雜訊。

熱雜訊的物理學也可以追溯到愛因斯坦的奠基性工作，那是他1905年關於布朗運動的論文。在那篇論文里，愛因斯坦給出了流體中粒子的位置漲落與流體的粘滯之間的關係，即漲落與能量耗散的關係。耗散將運動轉化為熱。在LIGO中，能量耗散來自於懸掛鏡子的石英玻璃纖維以及鏡子的光學塗層。

LIGO設計如此精密，技術性的和非基本的雜訊已經遠小於基本的量子雜訊和熱雜訊。而歷史上這兩種雜訊的物理本質正是愛因斯坦首先揭示的。

3.愛因斯坦的光量子假說

1905年是愛因斯坦的奇蹟年，這一年他發表了5篇重要論文， 按照時間順序，分別是光量子假說、測量分子大小的方法、布朗運動、狹義相對論、相對論質能關係。

在唯一被愛因斯坦本人稱作他的「革命性」文章中，他的光量子假說提出單頻率的電磁輻射由分立的光量子構成，每個光量子的能量正比於頻率，正如普朗克1900年給出的能量—頻率關係。但是普朗克只是假設在振子產生電磁波的過程中，能量是一份一份的。1907年普朗克曾經致信愛因斯坦：「我不在真空中，而只是在吸收和發射的地方尋求作用量量子的含義，我認為真空中的電磁波嚴格由麥克斯韋方程描述。」所以需要強調愛因斯坦對早期量子論的關鍵貢獻 [8]。 後來從美國化學家萊維斯（G. Lewis）1926年的一篇文章開始，光量子被簡稱為光子 [4]。

1906年愛因斯坦又從光量子假說推導出普朗克黑體輻射公式。1909年，通過黑體輻射能量漲落的研究，愛因斯坦提出，光量子可以看成「以光速運動的分立點」，「不能認為波和量子性不相容」[4]。 但是，至此愛因斯坦的光子說還不完備！愛因斯坦還沒有說明光量子有沒有動量。

1907到1911年是愛因斯坦的一段沉默期，但是他主要在思考量子問題。1911年5月他在給老朋友貝索(M. Besso)的信中寫道：「我不再問這些量子是否真實存在。也不再試圖構造它們，因為我知道我的腦子不能夠這樣弄清它們。」[4] 這時，他的精力轉移到廣義相對論。

4.愛因斯坦1916年的廣義相對論工作

關於愛因斯坦1915年11月創立廣義相對論的緊張工作，以及他的很多幸運之處，可以參見筆者最近的一篇文章 [9]。

1916年3月，愛因斯坦完成了對於廣義相對論的一個綜述 [10]，文章最後討論了3個預言：引力紅移、光線彎曲、水星進動。

當時水星進動已有觀測數據。1915年11月11日與18日之間，愛因斯坦得到與觀測一致的水星進動計算結果。他因激動而心悸，而且「興奮激動了好幾天 」[4]。 1915年12月9日在給德國物理學家索末菲（A. R. Sommerfeld）的信中寫道：「水星進動的結果給了我極大的滿足。」[11] 1916年元旦在給洛倫茲的信中寫道：「好不容易獲得的清晰以及與水星進動的一致讓我比以前任何時候都高興。」[11]

1919年光線彎曲被英國天文學家愛丁頓（A. Eddington）和克羅姆林（A. Crommelin）等人的觀測所證實。當時從洛倫茲的電報得知消息的愛因斯坦特地將這「快樂的新聞」發電報給病重住院的母親 [4]。

引力紅移直到1960年才由美國物理學家龐德（R. V. Pound）和雷布卡(G. A. Rebka)完成。 顯然，廣義相對論的驗證需要精密的技術，因此廣義相對論長期與現象脫節，直到上世紀後半葉天體物理大發展之後。間接證明引力波存在的脈衝雙星是1974年發現的。而在這些進展之前，愛因斯坦1955年已經去世。他後來越來越強調理論本身的優點，比如他在1930年寫道：「我認為廣義相對論的主要長處不在於預言微小的觀測效應，而在於基礎的簡單和自洽。」[4]

回到1916年。6月，愛因斯坦完成廣義相對論框架下第一篇關於引力波的論文 [5]。在引力場比較弱的時候，時空度規是在沒有引力的情況即平直時空基礎上的一個小擾動。愛因斯坦發現這個小擾動可以是以光速傳播的波，這就是引力波。他還發現引力波只有兩種螺旋態。順便介紹一下，在愛因斯坦相對論之前，1900年，洛侖茲在猜測，引力的傳遞需要不超過光速的有限速度。1905年，龐加萊將洛倫茲變換推廣到有引力的情況下，首次使用「引力波」一詞。

在關於引力波的這篇文章中，愛因斯坦還試圖算出引力輻射能，但是有錯。正確的結果在他1918年的一篇文章中給出，即著名的4極矩公式 [12]。他下一篇也是最後一篇關於引力波的論文是多年後與羅森(N. Rosen)合作的工作，最初是質疑引力波的存在性，在被《物理評論》退回後改投到《富蘭克林學會會刊》，發表時改為關於圓柱狀引力波的存在 [13,14,15]。

1916年10月，愛因斯坦討論了廣義相對論里的能量動量守恆 [15]。這導致了廣義相對論的一系列課題，比如，能量動量的定義是不是與坐標系無關。後來人們知道當在無窮遠時空趨於平直時，答案是肯定的。在其它相關問題中，有一個問題是，引力系統的總能量是不是總是正的。肯定的答案由丘成桐和舍恩於1979年證明 [17]。

5.愛因斯坦1916年完成引力波論文後建立量子電磁輻射理論

1916年，在完成引力波論文後，愛因斯坦在3篇論文中，提出了本文2.1節已介紹的量子電磁輻射理論，給後來的量子電動力學和量子光學打下基礎 [18,19,20]。這些論文還告訴人們，光子的動量反比于波長，等於普朗克能量量子除以光速，從而一舉完成了光子說。

他的第一篇文章已經包含了前面已介紹過的吸收、自發輻射、受激輻射三種過程和普朗克公式的新推導 [18]。在第二篇文章中，愛因斯坦通過對在輻射中處於平衡態的原子或分子的布朗運動的分析，論證了輻射過程是一個定向的過程，從而確立了光量子是具有動量的微觀粒子，而且還指出，自發輻射發出的光子的方向是隨機的 [19]。愛因斯坦提出的這種隨機性後來成為量子力學的一個核心概念。1916年8月24日，愛因斯坦致貝索的信表明，第二篇文章發表在紀念克萊納（A. Kleiner，蘇黎世大學教授，曾負責審核愛因斯坦的博士論文）的一個期刊特輯上。而發表於1917年的第三篇文章其實完全是第二篇在另一期刊的重印。然而愛因斯坦的傳記作者、著名理論物理學家派斯（A. Pais）似乎沒有注意到第二篇和第三篇是完全一樣的，而把理論的完成定位在1917年 [4]。而最近討論愛因斯坦對量子論的貢獻的理論物理學家斯通（A. D. Stone）似乎不知道1916年已經發表的第二篇文章的存在 [21]。很多人不但不知道第二篇文章的存在，而且根據第三篇，以為量子電磁輻射理論是1917年創立或者發表的。所以筆者在這裡澄清，愛因斯坦的量子電磁輻射理論是在1916年發表的。

除了激光，愛因斯坦的量子電磁輻射理論還與今天很多科學研究直接相關，比如獲得2014年諾貝爾物理與化學獎的研究 [8]。

那麼，是什麼驅使愛因斯坦在1916年回到他離開了好幾年的量子論？

在1916年6月預言引力波的論文中，計算了引力波引起的能量損失後，愛因斯坦寫道：「由於電子在原子內部的運動，原子將不僅輻射電磁能，還要輻射引力能，即使很小。因為這事實上不大可能是正確的，似乎量子論不但要改變麥克斯韋電動力學，還要改變新引力理論。」[5] 派斯猜測，可能是這個問題激勵愛因斯坦幾個月後作出他的量子電磁輻射理論 [4]。

量子力學要到1925年才創立。1916年，量子論還處於早期量子論階段。對於原子中的電子，人們使用玻爾的軌道概念——電子在軌道上是穩定的，只有在不同軌道之間躍遷時，才會有電磁輻射。這樣可以解決經典電磁理論預言的電子軌道會不斷縮小的困難。愛因斯坦1916年這篇引力波文章中這段話的意思是，引力輻射的情況也是類似的，也應該受到量子論的限制。事實上，用1925年開始發展出的量子力學可以算出，放出引力輻射的原子躍遷的幾率是放出電磁輻射即光子的幾率的10-50。另一方面，我們至今還沒有一個理想的引力場量子化的理論。

不過，派斯似乎沒有注意到，愛因斯坦的引力波論文是基於他1916年6月22日在普魯士科學院的報告，而量子電磁輻射理論的工作緊接著引力波工作，第一篇文章7月17日就被《德國物理學會會刊》編輯部收到，第二篇文章在8月份也已經完成。所以，愛因斯坦是很快作出了量子電磁輻射理論。

而斯通注意到，索末菲1915年12月曾寄給愛因斯坦他的關於他對玻爾模型的改進，將圓軌道推廣到橢圓，其中用到狹義相對論，解釋了氫原子的精細結構 [21]。索末菲問愛因斯坦廣義相對論會不會影響他的結果。筆者查到，1915年12月9日，在前面引用過的給索末菲的信的開頭，愛因斯坦寫道：「廣義相對論不大會對你有幫助，因為對這些問題，實際結果與狹義相對論一致。」[11]

1916年2月8日，在給索末菲的信上，愛因斯坦說：「你的信讓我很高興，你關於譜線理論的介紹讓我著魔。」 [11] 這是在廣義相對論的綜述完成之前，因為2月28日愛因斯坦致信維恩（W. Wien）:「我正在完善廣義相對論的全面發展。文章大概兩個月後寫好。」[11]

1916年8月3日，在給索末菲的信上，愛因斯坦說：「你的譜線分析是我在物理上的最佳體驗之一。正是通過它們，我相信了玻爾的想法。」[11] 這已經是在第一篇量子電磁輻射論文發表之後。

因此可以認為，1916年愛因斯坦回到量子論，建立了量子電磁輻射理論，首先是索末菲的來信激發的，即使不排除後來引力波工作起了進一步的激勵作用。關鍵是，索末菲的工作讓愛因斯坦接受了玻爾模型，這是他作出量子電磁輻射理論的基礎。至於索末菲關於廣義相對論效應的問題有沒有影響愛因斯坦後來在引力波論文里對量子論的評論，我們還無從得知。

愛因斯坦在1916年3月和6月都發表了廣義相對論的論文，所以在1916年的這段時間，愛因斯坦在廣義相對論和量子論兩方面都做了工作，而不是如斯通所說：「1916年2月愛因斯坦已經將廣義相對論放在一邊，去追趕原子的量子論。」[21] 可以想像，完成引力波論文後的兩個月里，愛因斯坦的主要精力在量子論，因為兩篇量子輻射論文分別在7月和8月完成。但是在這之前，收到索末菲的論文後，他開始關注量子論了，雖然他的主要精力放在廣義相對論。

6.愛因斯坦這段時期的其它一些信件

筆者還發現下面這些愛因斯坦在這段時期的信件。

1916年6月17日，在給洛倫茲的信中，愛因斯坦寫道：「我自己在研究場方程一級近似下的積分，並檢查引力波。結果有部分令人驚訝。有三種波，雖然只有一種傳遞能量。我還沒有全部完成材料系統輻射理論的研究。 但是已清楚的是： 量子難題也影響新引力理論，正如影響麥克斯韋理論。」[11] 這個難題顯然就是愛因斯坦在引力波論文中提到的問題。 愛因斯坦這封信是在他6月22日在普魯士科學院報告他的引力波工作之前。

一個月後，7月19日，在給朋友贊格（H. Zangger）的信中，愛因斯坦寫道：「我研究了引力波，還有最近的光輻射和吸收的量子理論，以及飛行中抬升的原因。」[22] 這說明，愛因斯坦的量子電磁輻射理論緊隨他的引力波工作之後。

8月11日，在給貝索的信中，愛因斯坦寫道：「我得到關於輻射吸收和發射的一個精彩想法。一個驚人簡單的推導，普朗克公式的正確推導。完全是量子的。我正在寫文章。」[11] 這裡的文章是第二篇。

8月24日，在給貝索的信中，愛因斯坦寫道：「引力波和普朗克公式的論文在你那裡長時間了。你會喜歡後者。推導方法完全是量子的，得到了普朗克公式。與此相聯繫的是, 可以令人信服地證明， 發射和吸收的基本過程是定向過程。只需要對輻射場中的分子的（布朗）運動進行分析。這個分析中沒有考慮邊界條件。正在蘇黎世物理學會會刊紀念克萊納的那一期里發表。」[11] 這說明當時愛因斯坦緊隨引力波論文，已經完成關於量子電磁輻射的兩篇文章。與上封信比較，可見第二篇文章是在11日和24日之間完成。

9月6日，在給貝索的信中，愛因斯坦又寫道：「（還沒有包含在寄給你的論文里的）結果是，每次輻射和物質之間傳遞基本能量時，動量hν/c傳給分子。因此每個這樣的基本過程是一種完全定向的過程。這樣光量子就確定了。」[11] 這說明愛因斯坦這時已經解決了光子動量問題。這個內容發表在量子電磁輻射的第二篇文章中。當時寄給貝索的文章只是第一篇。

1916年12月6日之後，在給貝索的信中，愛因斯坦寫道：「總的來說，引力和電磁力之間的聯繫還很膚淺。我也難以相信，上帝不嫌麻煩地引進兩個根本不同的空間狀態 。」[22] 這說明愛因斯坦在思考引力與電磁力的關係。

1917年3月9日，在給貝索的信中，愛因斯坦寫道：「我寄給你的量子論文使我重新回到輻射能的空間量子性觀點。」[11] 這是指第二篇文章。

引力波論文中的那段評論和這些信件表明，愛因斯坦在研究引力波後，認為也要考慮量子論對引力輻射的限制，他也開始思考引力和電磁力是否可以統一。引力和電磁力的統一問題耗費了愛因斯坦後半生很多精力，至今還是沒有解決的難題。愛因斯坦後來也希望這能夠解決他所認為的量子力學的不完備性。

愛因斯坦大概沒有想到，一百年後，量子電磁輻射成了測量引力波的關鍵工具。

7.小結

1916年，愛因斯坦預測了引力波，還提出量子電磁輻射理論，包括受激輻射的概念，為未來的激光的發明打下了理論基礎。而一百年後，他預言的引力波被人們利用他的量子電磁輻射理論所導致的激光所發現。而且，引力波探測技術也與他的光子概念和布朗運動理論密切相關。LIGO探測到引力波不但是對愛因斯坦的廣義相對論和引力波理論的百年紀念，也是對他的量子電磁輻射理論的百年紀念。這是愛因斯坦的獨特的幸運。

致謝 感謝LIGO合作組成員胡一鳴博士對本文第2章內容提出意見。

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