為什麼藍星人永遠建不成太空電梯？

01-28

藍星人始終幻想著，能有一天擺脫火箭這種低效率的運輸方式，直接建立從地面通往天穹的「天梯」。有人把它叫做「太空電梯」，也有人稱之為「軌道升降機」。然而他們並不知道，由於無法突破物理定律的限制，在藍星上建起太空電梯並不現實。而與此相反的是，若干年後，離太陽更為遙遠的火星上，一架架太空電梯卻能「屹立」而起。

太空電梯的前世今生

早在《聖經·創世紀》中，人類就希望共同建造一座從地面高聳至天際的通天巨塔——巴別塔，來傳揚自己的聲名。而最早提出太空電梯這個概念的人應該是俄國的「火箭之父」——齊奧爾科夫斯基。他設想中的這座太空電梯從地面一直通往高達 36000 千米的地球同步軌道。隨著電梯高度的不斷升高，內部的重力也逐漸降低。當貨物隨著電梯到達終點站時，其自身的速度就已經能維持繞地球的同步軌道運動了。因此同步軌道站點處於完全失重的狀態。

在 1979 年，亞瑟·克拉克的科幻小說——《天堂的噴泉》第一次將太空電梯這個超前的概念帶入了公眾的視野。在此之後，太空電梯也廣泛存在於各類科幻作品中。不論是《三體》中使用先進的納米材料製造的太空電梯，還是《機動戰士高達00》中 Union、AEU、人革聯三分天下時的三架軌道升降機，其基本概念與原理都是相同的。

《機動戰士高達00》中設想的太空電梯

如今，我們也能時不時地聽到一些相關的新聞報道，要麼是日本的公司「大林組」計劃在 2050 年之前建成第一座太空電梯，抑或是加拿大的公司提出了新的太空電梯方案。先不管這是否是商業公司進行炒作的噱頭，這些新聞確實讓更多的人產生了一種疑惑——我們離拋棄火箭、擁抱太空電梯的時代真的很近了嗎？

事實果真如此？建造太空電梯所需要的科技離我們究竟有多遠？我們將在下文中進行詳盡的分析。

太空電梯？受壓還是受拉？

在介紹太空電梯的原理之前，我們必須要明確一個問題——太空電梯是一座佇立於地面的巨塔還是一條從軌道上垂下的懸鏈？或者也可以這樣問——太空電梯是受壓的還是受拉的？

在齊奧爾科夫斯基最早提出的方案中，太空電梯是一座塔。與大多數高層建築的受力情況類似，這樣的太空電梯內部受到的是壓力。對於常用的建築材料，例如混凝土來說，其抗壓性能是抗拉性能的十倍。但是如今的太空電梯方案都是從同步軌道向下延伸的一條懸鏈，而尋找高強度的抗拉材料則成為了太空電梯能否建成的關鍵。

為什麼選擇讓太空電梯受拉而不是受壓呢？這就要談到力學上穩定性的問題。在生活中我們都有這樣的經驗：對於一根空心的吸管，怎麼拉都拉不斷；但是一旦你頂住吸管的兩頭向內使力的話，用很小的力就可以讓吸管彎折。實際上，吸管並不是由於內部應力超過抗壓強度被壓壞的，而是由於壓力導致吸管產生了穩定性失效（也稱為失穩或者屈曲失效）。

材料剛好發生失穩時的受到的壓力被稱為臨界失穩壓力，這個臨界力的大小與結構的長度的平方成反比。換句話說，如果將這根吸管對半剪開，那麼使它失穩的臨界壓力就會變為原來的四倍。

相比於地球上的高層建築來說，太空電梯的長細比可就大得多了。比如目前最高的建築迪拜塔，它的長細比約在 10:1。而長度達到 36000 千米的太空電梯，其長細比至少也能接近萬的量級。如果讓它承受壓力的話，它的失穩臨界壓力將會非常之小，很可能會直接被自己的自重給壓垮。因此，我們只有考慮受拉的太空電梯方案，才能避開穩定性失效的問題繼續分析。

太空電梯的設計原理

我們已經知道了，太空電梯是一條從同步軌道垂下來的「懸鏈」。這意味著，在越接近同步軌道的地方，太空電梯內部受到的拉力將越大。這是因為在電梯的任何一個分段，都將受到其下所有部分的重力的作用。

來源：Mars Elevator | Wanderers ，經作者 Erik Wernquist 授權後使用。

不過，材料破壞與否並不是僅僅看受力大小，還要看力所作用的面積。這一點很好理解，在同樣大小的拉力下，越細的管子越容易被拉斷。所以我們需要用「應力（力除以作用面積）」來衡量太空電梯是否會被破壞。如果太空電梯的截面積是均勻的話，那麼很顯然，受到拉力最大的地方，也就是同步軌道處最容易發生斷裂。

我們有沒有什麼辦法讓整個太空電梯內部所受到的應力相等呢？當然有了！我們知道了拉力是隨著高度增加而變大，那麼一架等強度（內部拉應力均相等）太空電梯的截面積也應該隨著高度增加而變大。因此，優化的太空電梯方案就從一條粗細均勻的「懸鏈」變成了上粗下細的漏斗狀「懸鏈」。

此外，我們還能通過力學上的分析獲得拉力大小隨高度變化的函數，那麼理想太空電梯的橫截面積變化函數也就能夠輕易地得到了。

（註：具體推導與計算部分已全部標註出來，讀者可以選擇性跳過）

推導①
設太空電梯內部拉力、橫截面積隨距離 $x$ （與地心的距離）的變化函數分別為 $T(x)$ 和 $A(x)$ 。
應用牛頓第二定律

$dT= -rho A(x) g(x)dx$
其中，等效加速度 $g(x)$ 是重力加速度與離心加速度的矢量和
$g(x) = -frac{GM}{x^2} + xOmega^2$
拉力還可以表示為應力乘以截面積 $dT = d(sigma(x) A(x))$ 。由於我們假設整個電梯內應力為常值，那麼 $sigma(x) = sigma$
$frac{dA(x)}{dx} = -frac{rho}{sigma} A(x) g(x)$
積分後我們可以得到
$A(x) = A _ 0 exp{left(- frac{rho}{sigma} left[ G M left( frac{1}{x} - frac{1}{x _ 0} right) + frac{1}{2} Omega^2 (x^2 - x _ 0^2) right] right)}$
其中下標 $_0$ 代表行星表面的值. 以地球為例，我們有 $x_0=R_E$ 。太空電梯起始處的橫截面積為 $A(x_0)=A_0$ 。地球同步軌道（GEO）處的橫截面積用 $A(x_{GEO})$ 來表示，將地球的相關數據帶入，可以計算出
$A(x_{GEO}) = A _ 0expleft(C_{earth} frac{rho}{sigma} right)$
對於地球，常數 $C_{earth}=4.85times 10^7$ （均為國際單位制，下同）。
$frac{A(x_{GEO})}{A_0}$ 被定義為太空電梯的 Taper Ratio（根尖比，也就是最高處的截面積與地面截面積之比）。
推導①結束

比強度！比強度！還是比強度！

從上面的理論分析我們可以知道，制約太空電梯最重要的因素就是材料的比強度 $frac{sigma}{rho}$ （材料的抗拉強度除以材料的密度）。如果建造材料的比強度減小，那麼電梯最上端的橫截面積將會以指數的速度增加，所需材料也會隨之增多。

假設我們用比強度較低的鋼材在地球上建造太空電梯的話，所需要的鋼材質量比整個宇宙的質量都還要多。而使用碳纖維建造的話，需要的質量能夠達到月球質量的百分之一。

來源：https://www.youtube.com/watch?v=f8CpnKBnPC0

這也是為什麼我們必須使用碳納米管這種比強度傲視群雄的材料才能在地球上製造太空電梯的原因。

來源：Specific strength

雖然從比強度的數據上來看，碳納米管能夠擔當太空電梯建築材料的重任。但是，以目前的材料科學水平，僅僅能在實驗室中製備長度在分米量級的碳納米管，離實際的工程應用還很遙遠，更別說製備長達數萬千米的碳納米管了。

如果材料科學無法取得顛覆性突破的話，在地球上建造太空電梯只能成為天方夜譚。但是，如果將地點放在火星，情況就會大不一樣。

推導②
將火星的質量、同步軌道高度、自轉角速度等數據代入公式

$A(x) = A _ 0 exp{left(- frac{rho}{sigma} left[ G M left( frac{1}{x} - frac{1}{x _ 0} right) + frac{1}{2} Omega^2 (x^2 - x _ 0^2) right] right)}$
重新計算，可以得到火星上太空電梯 Taper Ratio 的計算式
$frac{A(x_{ASO})}{A_0} = expleft(C_{mars} frac{rho}{sigma} right)$
對於火星，常數 $C_{mars}=9.52times 10^6$ 。
將上面表格中柴隆的比強度數據 $frac{sigma}{rho}=3.766times 10^6$ 代入公式後，得到 Taper Ratio 為12.5。而碳纖維的Taper Ratio 為 48。
推導②結束

可以發現，如果將火星的相關數據帶入公式進行計算的話，柴隆這種材料就完全可以滿足太空電梯的建造需要了。

僅僅從對材料的要求上來看的話，在火星上建造太空電梯比在地球上更為可能。現有的材料已經能夠擔此重任。

此曲只因天上有：太空電梯的振動

上面我們只分析了太空電梯的靜力狀態。如果繼續考慮太空電梯上的移動載荷（貨艙）以及大氣層內的風載荷，我們還需要對太空電梯的動力學狀態進行分析。

通過生活上的經驗我們都知道，對於弦樂器來說，琴弦拉得越緊，演奏出的音調就越高，也就是說弦振動的頻率越高；而弦的長度越長，演奏出的音調越低，其振動頻率也就越低。那麼我們是否可以把太空電梯當做一根從天際連接到地面的琴弦來分析呢？

由於太空電梯的長細比很高，內部的拉力也非常大。為了問題的簡化，我們可以將其考慮為一根均勻弦的振動而不考慮為工程中常用的梁振動。

太空電梯的長度非常長，但弦上的拉力也非常大，那麼它的振動頻率究竟處在一個什麼樣的量級上呢？

推導③
對於兩端固定的均勻弦的自由振動，振動微分方程與邊界條件為
$u_{tt}-a^2u_{xx}=0$ ,
$u|_{x=0}=0,nu|_{x=l}=0$
其中 $a^2=T/rho$ ，T為拉力。
使用分離變數法（解法可見任意一本數理方程教材），可以解出上述偏微分方程
$u_n(x,t)=left(A_ncos{frac{npi at}{l}}+B_nsin{frac{npi at}{l}}right)sin{frac{npi x}{l}}quad(n=1,2,3,...)$

當 n=1 時，固有頻率被稱為基頻，其他階頻率都與基頻呈簡單的倍數關係
$f=frac{omega}{2pi}=frac{a}{2l}=frac{sqrt{T/rho}}{2l}=frac{sqrt{sigma A/rho}}{2l}$
對於地球，我們假設 $A=10$ （實際上太空電梯的截面積是不均勻的，這導致了電梯上的拉力各處都不相同，關於這個問題更為詳細的推導可以見這個文檔。而在這裡，我們只將拉力與截面積均視為均勻，以方便計算），取碳納米管的比強度數據 $frac{sigma}{rho}=6e7$ ，以及地球同步軌道高度 $l=36000e3$ ，算出
$f_{earth} = 3.40times10^{-4} Hz,quadnT_{earth} = 2.94times 10^3 s = 0.82 h$
而對於火星，我們仍然假設 $A=10$ ，取柴隆的比強度數據 $frac{sigma}{rho}=3.766times 10^6$ ，火星同步軌道高度 $l=17000times 10^3$ ，算出
$f_{mars} = 1.80times10^{-4} Hz,quadnT_{mars} = 5.54times 10^3 s = 1.54 h$
推導③結束

通過計算，我們可以知道，不管是對於地球上還是火星上的太空電梯，其振動的固有周期大約在小時量級（如果將電梯的截面積 $A$ 取大一點的話，頻率會增加而周期會減小），這等於是說太空電梯大約每一個小時才振動一個來回。

對於工程上的結構，我們研究其固有頻率主要是為了避免發生共振。當外界激勵力的頻率與結構的固有頻率相近時，振動幅度會顯著增大，這種現象被稱為共振。而對於太空電梯來說，其固有周期在小時量級，一般的聲波對它來說是高頻振動，只有頻率相當相當小的次聲波才會對太空電梯產生顯著的影響。另外，周圍大氣與風力的周期性變化也可能使太空電梯發生共振。

有了太空電梯振動的固有頻率和模態（可以理解為振動方式），我們就可以根據實際的載荷計算出太空電梯的動響應。具體的問題需要深入的分析，在這裡我們就不進一步計算了。

下面是劇（guang）透（gao）

在星際移民之書的設定中，就設想了一個材料科學的極限無法突破，藍星人永遠無法在地球上成功建造太空電梯，而火星移民者卻能憑藉著太空電梯建立起相較於地球的太空優勢，從而......（啊，星移君不能劇透太多了_(:з」∠)_）......的世界。

來源：Mars Elevator | Wanderers ，經作者 Erik Wernquist 授權後使用。

如果對星際移民之書中龐大的設定內容感興趣的話，星移君會在本專欄中逐步更新關於這個設定的連載文章哦，敬請關注~

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