理解Aumann的論文 Agreeing to disagree

01-28

論文 Aumann, Robert (1976), Agreeing to disagree, Annals of Statistics, 4, 1236-1239.

知乎上有人提過相關問題：關於羅伯特·奧曼的論文《不一致的達成》怎樣解讀？ - 博弈論

假定參與人 $i$ 和 $j$ 對世界具有共同的先驗概率估計。

定理：如果在狀態 $omega$ 下，參與人 $i$ 對事件 $E$ 的後驗概率估計 $p_{i}$ 和參與人 $j$ 對事件 $E$ 的後驗概率估計 $p_{j}$ 都是共同知識，那麼 $p_{i}=p_{j}$ 。

（一個事件 $F$ 是共同知識是指二人都知道 $F$ ，二人都知道二人都知道 $F$ , 迭代無窮次...）

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我用一個現實里的例子作為背景，語言上則使用稍容易理解一點的type space model，而不是原文中的state space model。

假定兩個投資者 $i$ 和 $j$ 同時考察一項投資，他們各自的考察會給自己帶來一些只有自己知道的信息，我們分別記為 $t_{i}in T_{i}$ 和 $t_{j}in T_{j}$ ，稱為他們的信息類型。為簡單起見，假定投資的收益只有高低兩種可能，記為 $sin S={H,L}$ 。

在考察前，二人對於可能發生的狀態 $omega=(t_{i},t_{j},s)$ 具有共同的先驗概率估計 $pin Delta(T_{i}times T_{j} times S)$ 。對任意時間 $E$ ，在考察獲得各自的信息之後，二人分別通過貝葉斯法則得到對 $E$ 的後驗（條件）概率估計， $p_{i}=P(E|t_{i})$ 和 $p_{j}=P(E|t_{j})$ 。例如 $E$ 可以是投資收益為高（ $s=H$ ）這一事件。

定理的重新陳述：如果在二人獲取的信息分別為 $t_{i}, t_{j}$ , 投資真實收益情況為 $s$ ，即世界的真實狀態為 $omega=(t_{i},t_{j},s)$ 時，二人對高收益的後驗概率估計 $p_{i}, p_{j}$ 都是共同知識，那麼他們的概率估計一定相同。

這個定理說明人們沒有辦法 agree to disagree。為了理解這個結果，我們從理解什麼時候 $i$ 的後驗概率會是共同知識開始。簡單的有兩種情形：（1） $i$ 獲取的信息本身是共同知識；（2） $i$ 具體獲取到什麼不一定是共同知識，但她獲取的信息與投資收益無關是共同知識。那更一般的思想是什麼呢？

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Intuition：

假定 $T_{i}={1, 3, 5}$ , $T_{j}={2, 4, 6}$ , 且給定共同的先驗分布 $p$ , 當一個人的信息為整數 $k$ 時，對方的信息可能且僅可能為 $k-1$ 或者 $k+1$ 。

1 3 5

2 4 6

假定在世界的真實狀態 $omega$ 下， $(t_{i}, t_{j})=(1, 2)$ 。那麼 $i$ 的後驗概率估計為 $p_{i}=P(E|t_{i}=1)$ 。為簡化描述，將 $i$ 的後驗概率為 $p_{i}$ 這一事件記做 $F$ 。如果 $F$ 是共同知識。那麼：

1. 在 $omega$ 下， $j$ 知道自己的信息是 $t_{j}=2$ ，卻不知道 $i$ 的信息是 1 還是 3。那她又怎麼會知道 $F$ 呢？答案是，除非無論 $t_{i}$ 是 $j$ 認為可能的哪種信息， $F$ 都發生，即除非 $p_{i}=P(E|t_{i}=1)=P(E|t_{i}=3)$ 。

2. 在 $omega$ 下， $t_{i}=1$ ，於是 $i$ 知道 $t_{j}=2$ ，進而知道 $j$ 知道 $F$ 。（這一層沒有新蘊涵的結果。）

3. 在 $omega$ 下， $j$ 不知道 $i$ 的信息是 1 還是3 。那她怎麼才能知道 $i$ 一定知道她知道 $F$ 呢？答案是，除非無論 $i$ 的信息是1 還是3，這都成立。當 $t_{i}=3$ 時這成立的條件是 $j$ 的信息是2 和4 的時候 $j$ 都知道 $F$ ，同上，這就要求 $p_{i}=P(E|t_{i}=3)=P(E|t_{i}=5)$ 。

4. ......

從以上的思路我們已經可以看出來，在狀態 $omega$ 下 $i$ 的後驗概率為 $p_{i}$ （事件 $F$ ）是共同知識，除非 $i$ 的後驗概率在很大集合的狀態下保持不變--都是 $p_{i}$ 。這個集合多大呢？至少需要是在 $omega$ 下是共同知識。（上例中指 $t_{i}in {1, 3, 5}$ 這一事件。）

換句話說，在狀態 $omega$ 下 $i$ 的後驗概率為 $p_{i}$ 是共同知識當且僅當 $i$ 在某一個在 $omega$ 下是共同知識的事件上的後驗概率都為 $p_{i}$ 。蘊涵的意義是 $i$ 考察到的關於投資收益的有用信息（即會影響到後驗概率估計的部分）對於二人是共同知識；對 $j$ 同理。既然如此，二人的後驗概率估計必然相同。嚴格的數學推導可見論文原文，非常簡潔。