由羅素悖論說開去

本文試圖對@吳宇航 的問題「所有的集合是一個真類，那所有的真類是什麼？」給出一個較為詳盡的解釋。

目錄

一、羅素悖論（Russell』s paradox）

二、公理集合論

三、類（class）

四、Grothendieck universe

一、羅素悖論（Russell』s paradox）

在19世紀以前的樸素集合論時代，人們並沒有對「集合」（set）這個概念給出明確的定義。直到現在，我們仍然在大量的非數學專業教材中看到這樣的說法：

一般的，所謂集合（簡稱集）是指具有某種特定性質的事物的總體，組成這個集合的事物稱為該集合的元素（簡稱元）。

——同濟大學《高等數學》第六版

那麼，是不是所有「具有某種特定性質的事物的總體」都能稱作「集合」呢？

如果我們把同濟高數教材中的說法當作集合的定義，就會導致歷史上著名的羅素悖論（Russell』s paradox）。這一悖論直接導致了所謂的「第三次數學危機」，這在各類數學科普文章中可以看到很多相關故事，此處按下不表。

把所有集合分為兩類，第一類中的集合以其自身為元素，第二類中的集合不以自身為元素。令

問Q∈P還是Q∈Q？

顯然，任何一個集合要麼在P中，要麼在Q中，但不可能同時在P和Q中。

但是，若Q∈P，就意味著Q?Q，於是Q∈Q，矛盾。

反之，若Q∈Q，則Q?Q且Q∈P，也是矛盾。

這一悖論還有個更通俗的「理髮師悖論」的版本：

某理髮師聲稱他給所有不給自己理髮的人理髮。問這位理髮師給不給他自己理髮？

如果理髮師不給自己理髮，他就屬於「不給自己理髮的人」，於是他應該給自己理髮；

如果理髮師給自己理髮，就違背了他只給「不給自己理髮的人」理髮的原則。

於是，羅素悖論讓人們開始明白，「集合」這個術語是不能隨便亂用的。

二、公理集合論

公理集合論是在一階邏輯的基礎上用嚴謹的語言重整的集合論，試圖以此解決樸素集合論中出現的悖論。現代數學通常採用Zermelo-Fraenkel公理系統（ZF），或者加入選擇公理後的ZFC系統，作為建立數學大廈的基石。

所有的數學理論都必須從一些不加定義的初始概念開始，包括作為數學大廈基石的集合論也是如此。對公理集合論來說，我們只需要一個初始概念：

__是__的元素（__ is an element of __）

它的意思和我們的直觀理解相同（即我們不對這句話本身進行定義）。我們用x∈y表示「x是y的元素」（x is an element of y）。

除了∈之外，公理集合論只使用一階邏輯中的邏輯符號（此處略去解釋，詳情可參考維基百科：中文、英文）。在此基礎上，讀者就可以看懂ZFC系統中各條公理的意思了：

1、外延公理（Axiom of Extensionality）

2、配對公理（Paring Axiom）

3、並集公理（Union Axiom）

4、分離公理模式（Axiom Schema of Separation）

5、無窮公理（The Axiom of Infinity）

6、冪集公理（Power Set Axiom）

7、替代公理模式（Replacement Axiom Schema）

8、正則公理（Axiom of Regularity）

以上八條屬於ZF公理系統，再加上選擇公理就構成了ZFC公理系統：

9、選擇公理（Axiom of Choice）

由於維基百科（中文：策梅洛-弗蘭克爾集合論，英文：Zermelo–Fraenkel set theory）中對上述公理已有詳細解釋，此處也略去。

於是我們有下面的定理。

【定理】所有集合的全體不是一個集合：

證明很簡單。假設?x, ?y, y∈x，定義公式φ為"z?z". 令y={z∈x: z?z}，由分離公理模式可知y是集合, 於是y∈x。這樣我們就得到y∈y?y?y，矛盾。

聰明的讀者想必已經看出，這個證明中得到的矛盾就是羅素悖論。所以，為了避免羅素悖論，我們就必須承認所有集合的全體不是一個集合。

現在我們回到「集合是什麼」的問題上來。事實上，ZFC公理系統並沒有定義什麼是集合，而只是設定了一套集合應該滿足的規則。所以，現在我們應該怎樣來回答這個問題呢？

1、直觀上，一個集合表示滿足某種性質的對象的全體；

2、事實上，我們把集合作為最初始的數學概念，不予定義：

3、我們不對集合做出定義，我們只在ZFC公理系統設定的規則下面，小心地使用「集合」這個概念。

現代數學中的絕大多數分支都基於ZFC公理系統。或者更確切地說，絕大多數定義在「集合」上的數學概念都基於ZFC公理系統。

三、類（class）

在這一部分里，我將解釋什麼叫做「小心地使用『集合』這個概念」。事實上，不僅是業餘數學愛好者，就連專業的數學工作者也會對此頭疼不已。我們通常把跟「討論的對象是不是集合」相關的困擾和麻煩稱為「size issues」。

從公理集合論誕生開始，人們不再隨意亂用「集合」這個名詞。作為替代，我們不把「具有某種特定性質的事物的總體」稱作集合，而把它稱作「類」（class）。只有當這些「具有某種特定性質的事物的總體」與ZFC公理系統不矛盾（例如不能導出羅素悖論）時，我們才把它稱作集合。

注意在上面的定義中，類的概念是集合的拓展——即，集合也是一種特殊的類。如果要強調所考慮的類不是集合，則稱其為「真類」（proper class）。

下面舉一些常見的真類的例子：

1、全體集合構成一個真類；

2、全體線性空間（linear space）構成一個真類；

3、全體拓撲空間（topological space）構成一個真類。

上面的2和3兩個例子中，全體線性空間或者全體拓撲空間構成真類的原因是，在任意非空集合上都可以定義線性結構或拓撲結構。既然全體集合構成一個真類，那麼全體線性空間或全體拓撲空間也應該構成一個真類。類似的例子還有全體群/環/交換群/幺半群（group/ring/Abelian group/monoid）構成的真類。

傳統的數學分支大都是在集合論的基礎上建立起來的。所謂「以集合論為基礎」的意思是，絕大多數基礎數學概念都定義在集合上。例如：

給定域F，F上的線性空間V是一個集合，其上定義了兩種二元運算……

拓撲空間是一個集合X，連同X的一個子集族T，滿足……

群是一個集合G，連同一個G上的二元運算 ·，滿足……

所以，在處理傳統數學對象時，我們務必要「小心地使用『集合』這個概念」。例如，你可以在一個拓撲空間上考慮能否給其加入群結構（即所謂的「拓撲群」），但你不能隨意說出「引入任意兩個拓撲空間之間的某種運算，使得全體拓撲空間成為一個群」這樣的話，因為全體拓撲空間甚至不是一個集合！

四、Grothendieck universe

最後回到本文開頭引用的問題。正如題主所想到的，羅素悖論不僅會在「什麼是集合」的問題上產生，而且會在任何牽涉到「一類事物的總體」的名詞上產生！

對於許多傳統的數學分支而言，這並不是一個大問題。原因是，把考慮的對象（例如線性結構、拓撲結構、群結構等）局限在集合上就已經能得到數學家們想要的結果。但是，當致力於研究不同抽象數學結構之間的聯繫的範疇論（category theory）出現後，這一問題就日益突出了。

原因是，範疇論並不關注一個拓撲空間或一個幺半群，而關心全體拓撲空間或全體幺半群放在一起所得的結構的性質。由於全體拓撲空間或全體幺半群不再是一個集合，所以在範疇論里就不可避免地會遇到大量的真類。

在範疇論剛出現時，人們的做法是將範疇區分為「小範疇」（small category）和「大範疇」（large category）。這裡是小範疇是指全體對象和全體態射都是集合的範疇，而大範疇是指全體對象或全體態射至少有一個是真類的範疇。

然而，隨著討論的進一步深入，特別是到了高維範疇的領域，人們發現僅僅區分「集合」與「類」也不夠了。具體而言：

所有集合放在一起不再是一個集合，而是一個類；

所有類放在一起不再是一個類，而是一個「類+」（我們姑且用「類+」表示比「類」更高一個層級的「事物的總體」）；

所有「類+」放在一起不再是一個「類+」，而是一個「類++」；

…………

如此層疊下去，無窮無盡。

Grothendieck universe對上述過程給出了確切的描述。具體而言，Grothendieck universe是一個滿足下列條件的集合U：

1、如果x∈u且u∈U，則x∈U；

2、如果u∈U且v∈U，則{u,v}∈U；

3、如果x∈U，則x的冪集P(x)∈U；

4、全體自然數構成的集合N∈U；

5、如果I∈U且對任意i∈I，xi∈U，則全體xi的並集∪xi∈U。

顯然，如上定義的U一定是不可數的（由3、4兩條可知）。可以證明，任意Grothendieck universe U都是ZFC公理系統的模型（model），也就是說這樣的U一定」足夠大「到包含了所有基於ZFC公理系統的數學理論（這包含了絕大多數現代數學分支）。

我們把U中的元素（即滿足x∈U的x）稱為「U-小集合」（U-small set），用來取代經典數學中的「集合」；同時把不是U的元素的子集（即滿足x?U但x?U的x）稱為「U-大集合」（U-large set），用來取代經典數學中的「真類」。於是，我們可以在「U-小集合」上定義一切我們想要的數學結構（拓撲空間、線性空間、群、環等），而全體拓撲空間（或線性空間、群、環）則構成一個「U-大集合」。

這樣，我們就可以完全拋棄「類」這個概念，而用「U-小集合」、「U-大集合」這樣的術語來表示不同層次的「具有某種特定性質的事物的總體」。

顯然，全體「U-小集合」就是U自身。那麼，全體「U-大集合」（或者」U的全體子集所構成的集合P(U)「）又是什麼呢？

Grothendieck加入了這樣一條公理：

【Axiom of universes】對任意集合s，存在一個Grothendieck universe U使得s∈U。

換言之，只要所考慮的「具有某種特定性質的事物的總體」（例如「全體U-大集合」）超出了U自身的範圍，我們就把它放到另一個更大的Grothendieck universe V中去。這就是說，只要Grothendieck universe V取得足夠大，任何集合（注意此處的」集合「泛指「具有某種特定性質的事物的總體」）都是「V-小集合」。

所以，Grothendieck universe就是「類，類+，類++…」的文藝版。

範疇論的奠基人S. Mac Lane在他的經典教材《Categories for the Working Mathematician》中指出，事實上，Grothendieck universe這樣的層疊嵌套在拓撲空間、線性空間、群這樣的經典數學中並無必要。原因是，把群這樣的數學結構定義在集合上，或者定義在「類」上，或者定義在「類+」上，處理方法上並沒有本質區別。

於是，在處理以集合論為基礎的經典數學時，我們可以把所有討論的對象局限在一個確定的可以作為ZFC公理系統模型的universe U內。例如，只討論「U-小群」（U-small group），即「U-小集合」上的群結構，就足以包含所有的群理論。只有在考慮類似於「U的全體子集所構成的集合P(U)」這樣超出U的範圍的問題時，我們才有必要引入「無窮無盡」的Grothendieck universe。

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