地震力到底是怎麼算出來的？[Part.9]

上一篇里，我們把三層房子的質量分配到了三個振型里。第一振型分得了91.4%，第二振型分得了7.5%，第三振型只分得了可憐的1.1%。

我們在 part.6 里提到了，對於多層房子來說，影響地震作用有兩個因素：一個是質量，我們已經得到了每個振型的質量；另一個則是高度，也是我們接下去要處理的內容。

對於每個振型，我們得到 Lθ 這個參數。看上去挺複雜，其實是這麼算的：

然後，我們上一篇得到了另一個參數 Lh。每個振型的 Lθ 除以 Lh，我們就得到了每個振型的有效高度。

層高都是4米，以層高為單位高度，把每個振型的有效高度也 normalize，我們就得到了 2.25、-0.80、0.55 這一組振型有效高度。

至此，我們已經得到了每個振型的有效質量和有效高度，這些又有什麼用呢？

事實上，這相當於把這個三層房子拆成了三個一層房子。三層房子每層的層高是h，質量是m。而拆分之後的第一個房子，對應於第一振型，質量 2.74m，高度 2.25h，周期 0.547 秒；第二個房子對應第二振型，質量 0.22m，高度-0.80h，周期 0.195 秒；第三個房子對應第三振型，質量 0.03m，高度 0.55h，周期 0.135 秒。

注意到，對於三層房子，質量與高度的乘積之和等於

而對於三個單層房子，它們的質量與高度的乘積之和為

單層房子在地震下的反應，我們前面已經討論了很多了。現在，我們有了三個單層房子，假設它們經受阪神地震的地震波，它們的地震響應是什麼樣的呢？

總結一下，我們這三個小房子的質量和周期，以及換算之後的剛度。

我們在 part.2 里，用下面這樣的 Matlab 代碼，通過 Newmark』s Average Acceleration Method，計算了單層房子在某個地震作用下的位移響應。

在 part.2 的例子里，單層房子的質量是 0.3，剛度是200。而對於我們這裡的例子，第一振型對應的單層房子，質量是 0.8226715，剛度是 108.6267925。把這兩個數值放進代碼里，我們就能得到代表第一振型的單層房子在阪神地震下的位移和加速度響應了。

跟我們 part.3 對單層房子的分析一樣。紅色的曲線是位移，也就是每個時刻這個質量0.823、剛度108.627 的一層房子的房頂位移；藍色的曲線是加速度，也就是每個時刻房子所受的地震力與自身重力的比值。因為這代表了第一振型的情況，所以我們把紅色曲線叫做 D1，藍色曲線叫做 A1。D1 和 A1 實際上都是關於時間 t 的函數。

同樣的方法，對應第二振型的小房子，質量為0.0673893，剛度為69.8583391，把這兩個數帶進去，我們就得到了 D2 和 A2。

再重複一次，代表第三振型的小房子，質量 0.0099392，剛度 21.5148685，帶進 Matlab 里，就可以得到第三振型的 D3 和 A3。

這位看官說了，我們要的是三層房子的位移和地震力，你整了半天，都是在弄這三個一層房子，有啥用啊？

別忙別忙，我們在 part.7 里說過了，有了各個振型的地震響應，把它們按一定的係數組合起來，我們就得到整個房子的地震響應了。具體怎麼組合呢？且待我們下回繼續。

題圖來源：Dynamics of Structures：Theory and Application to Earthquake Engineering，Anil K. Chopra

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