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振動力學物理學

為什麼對於有阻尼的真實振動，當驅動力的頻率略小於固有頻率時，系統的振幅達到最大值？

01-28

這是人教版物理3-4課本中一個小字部分的說明，今天有同學問到，不知道該如何解釋。

高中物理嗎？那麼對孩子說的話，點到為止即可吧。

這個點其實就是：共振的模式不止一種。穩定受迫振動下只有速度共振的頻率才等於系統的固有頻率，而位移共振的頻率要比固有頻率略小。

其實高中教材裡面對「共振」的介紹很模糊，而且不同版本的教材說得也有點出入。這個編寫教材的人可能也很糾結，因為一旦寫的比較深了，那麼就難在初等數學範圍內解釋清楚了，所以才會這樣的囫圇。

在振動過程中，在橫軸兩側來回跳動的物理量有很多，比如：

1）振子位移；

2）振子速度；

3）振子加速度；

4）……

所以一個振動過程其實可以看作位移振動、速度振動、加速度振動等等的總和。所以實際上受迫振動的「共振」的概念，其實也是根據不同的物理量來規定的，分為：

1）位移共振：系統在受迫振動時，位移振幅達到最大值的現象；

2）速度共振：系統在受迫振動時，速度振幅達到最大值的現象；

3）加速度共振：系統在受迫振動時，加速度振幅達到最大值的現象；

4）……

中學教科書上所指的「共振」，就是指位移共振，也就是位移振幅達到最大值的現象。那麼，這個共振的頻率是要比固有頻率小的；如果說的是加速度共振的頻率，那麼就要比固有頻率大。

給學生們解釋到這一點我覺得就差不多了。

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接下來說說為啥。其實這個的原因有點大學物理的動力學基礎的，仔細想想算算就能明白，並不需要物理學科班來解答。

隨便設一個簡單的振動系統，比如下圖：（手邊電腦沒有太合適的軟體，拿畫圖了）

一個物體質量為m，在輕質彈簧鏈接下（F1=-kx）做有阻尼（F2=-cv）的振動。這時給它施加一個周期性的強迫力F3（=H·cospt，這裡面的p就是強迫力圓頻率）。依據牛頓第二定律有：

$ma=F$

$mfrac{d^{2}x }{dt^{2} } +cfrac{dx}{dt} +kx = Hcospt$

兩邊除以一個m有：

$frac{d^{2} x}{dt^{2} } +frac{c}{m} cdot frac{dx}{dt} +frac{k}{m} cdot x = frac{H}{m} cospt$

設一下：c/m=2β， $sqrt{k/m}$ = $omega$ ，H/m=α

那麼有：

$frac{d^{2} x}{dt^{2} } +2eta frac{dx}{dt} +omega^{2} cdot x = alpha cospt$ (1)

這是一個微分方程，也是為啥高中不敢說太細的原因。把這個方程解出來（過程省略，不過基本還是老方法，通解+特解），有：

$x = A e^{-eta t} cos(sigma t+varphi )+Acos(pt+varphi )$

當受迫振動達到穩定時，第一項可以忽略掉，則：

$x = Acos(pt+varphi )$ (2)

其中 $A$ 就是受迫振動達到穩定時的振幅。

將（1）和（2）聯立起來就可以解出係數關於強迫力圓頻率p的方程：

$A= frac{alpha}{sqrt{(omega ^{2} -p^{2} )^{2} +4eta ^{2} p^{2} } }$

$varphi = arctanfrac{-2eta p}{omega^{2} -p^{2} }$

那麼同樣的，速度的振幅V關於P的表達式如下：

$V = Ap= frac{alphacdot p}{sqrt{(omega ^{2} -p^{2} )^{2} +4eta ^{2} p^{2} } }$

現在要分情況討論了：

i）發生速度共振時，V達到最大值，所以令：

$frac{dV}{dp} =0$

可以解得：

$p = omega = sqrt{k/m}$

這是發生速度共振時，外加的強迫力所需滿足的條件。

但同時，我們再來好好看看這個表達式就會發現——這其實也是彈簧振子系統的固有圓頻率表達式。所以我前面才說，速度共振的外力頻率和固有頻率是一樣的。

ii）發生位移共振時，A』達到最大值，所以令：

$frac{dA}{dp} =0$

可以解得：

$p = sqrt{omega^{2}-2eta^{2} } =sqrt{k/m-2(frac{c}{2m} )^{2} }$

這個就是發生位移共振時，外加的強迫力所需滿足的條件。

明顯可以看出來，這個頻率要比速度共振時的外力頻率小。

所以才會有物理書上所寫的：

對於有阻尼的真實振動，當驅動力的頻率略小於固有頻率時，系統的振幅達到最大值。

簡單說明就是：

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受簡諧振動激勵下，達到最大振幅時候的對應激勵頻率：（提問者想要的答案，為什麼就小了呢）

$omega_{peak}=omega_0sqrt{1-2zeta^2}$

************(注意這裡是受迫振動的情況而非帶阻尼的自由衰減情況)--&> 這點非常重要

頻率變成： （你發現相對 $omega_{0}$ ， $omega_{peak}$ 變小了，因為 $omega_{peak}$ 是 $omega_{0}$ 乘以了一個小於1的數）----這就是你需要的解釋。

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2. 怎麼來的：

EOM:

$frac{x}{x_s}=frac{1}{sqrt{(1-r^2)^2+(2zeta r)^2}}sin(wt-phi)$

$x_s=F/k$ ; $omega=$ 輸入頻率（激振頻率）; $omega_0=$ 自然頻率； $r=omega/omega_0$

為了求x的極值，所以求駐點。分母 ${sqrt{(1-r^2)^2+(2zeta r)^2}}$ 的一階導數為零，

得出的 $omega$ 的值就為 $omega_{peak}$

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小科普：

3. $zeta$ 這個東西叫做阻尼比 (damping ratio)= $frac{c}{c_{critical}}=frac{c}{2sqrt{km}}$ ，都跟1比較，這個值決定了他是：

1. under damping (至少振動幾下)

2. critical damping（剛好一下從振動到停止）

3. overdamped （也是一下直接停止，比critical damping 更明顯，更慢，比如我們常見的玻璃旋轉門）

簡單講，阻尼比決定了這個系統在振動起來後，衰減的快慢。

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具體的：(你的解釋就是下面豎直方向上灰色虛線的變化，不過我覺得沒必要跟高中生講吧，鼓勵他們上大學好好讀書~~)

此圖：在不同阻尼比下，系統（你可以理解成質量塊）達到穩態之後，的幅值和對應激振頻率比（ $omega/omega_0$ ）的圖像。

source:

1. https://en.wikipedia.org/wiki/Damping

2. https://en.wikipedia.org/wiki/Damping_ratio

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