將三維自旋擴充成四維矢量是否可行？

Walter Greiner在他的《相對論量子力學》中，為了定義自旋投影算符並保證它的洛倫茲不變性，引入了自旋的四矢量形式：

這樣定義的自旋雖然滿足洛侖茲協變性，看上去像是一個四維時空中的矢量，但是我對這樣做的合法性一直存疑：真的可以這麼做嗎？畢竟，四維時空中的角動量有六個獨立的分量，角動量在本質上講是一個二階全反對稱張量而不是矢量啊......強行這麼做的話不會和它的本質衝突嗎？

這是一個很有意思的問題。

答案是，並非所有的這種擴充都可行，而且這個擴充不具有唯一性。

那麼，為什麼角動量的這個擴充可行呢？這個問題可以反過來看。

四維時空廣義角動量 雖然叫「角動量」，但它有六個獨立分量，因此並不滿足角動量代數。其中三個分量雖然滿足角動量代數，其卡茲米兒（總角動量）卻非洛倫茲協變，因為與其餘三個分量（推動生成元）不對易。物理上講，該三個算符對應的是體系的總角動量（粒子自旋+質心運動的軌道角動量），而非粒子的自旋。

欲構造自旋角動量，須將洛倫茲群拓展為龐加萊群。龐加萊群有兩個卡茲米兒，一個是 ，另外一個是 ，其中 為泡利-魯班斯基矢量，其本徵值為 ，其中 為自旋， 為質量。 Greiner 所說的自旋矢量便是， 。

下一步，我們需要證明， 滿足角動量量子化，這可以由構造自旋角動量代數 得到。注意到，在質心系 里 。因此， 的本徵值 確實是粒子的總自旋。 在質心系， 的三個空間分量滿足角動量代數。那麼在一般參考系怎麼辦？解決方案是，將其變換到質心系。因此我們定義：

其中， 是一個洛倫茲推動， 。

不難驗證， ，且， 構成一個 代數（角動量代數）。因此， 的本徵值 是量子化的。

因此雖然 不夠成角動量代數，但它「蘊含」一個角動量代數。

這個並不對應四維旋轉，而是對應「在四維空間如何看待三維旋轉」。