導熱微分方程的推導中為什麼要用到泰勒展開，思路是什麼？

01-27

以x方向為例，考察流進微元的熱量Q(x)和流出微元的熱量Q(x+dx)。
【因為在這裡列印希臘字母不方便，我就用Q代替了，原始公式在圖片里。】
Q(x+dx)好像是關於Q(x)的函數，其結果是經過泰勒展開求得的。為什麼這樣？思路是什麼？謝謝！

這個問題雖然對於傳熱學來說非常初級，但是解決它能從中學到一些解決問題的思維，是個非常好的問題。

1. 為什麼可以用泰勒級數展開？

泰勒級數展開針對所有的平滑可微分方程都適用。在物理問題中經常被用來簡化方程或者建立模型。在這裡我們用泰勒級數來求一個立方體微小元的兩個對立面的熱流量。

而熱傳導的熱流量方程中，

$q=-kAfrac{dT}{dx}$

k是常數或者是溫度和壓力的函數，A在某個截面已知，T在連續的介值內也是平滑的，所以q滿足適用泰勒級數的條件。

2. 為什麼只需要一階的泰勒級數？

泰勒級數展開（來自wiki）

其中並沒有x--&>a的條件，隨著k從1到無窮所取的項越來越多之後，該展開式會越來越準確。

但是在x越來越接近a的時候，一階展開式的準確度會越來越高。

（圖示為四階展開，來自wiki）

而在熱傳導方程中

你在問題中也提到了這是微小元分析，所以dx--&>0

因此一階的泰勒級數展開已經足夠了。

3. 怎麼想到要用泰勒級數的？

書本上教我們知識的時候，是按照先求條件再求結果的順序來的，但是我們真正在解決問題的時候的思考邏輯可能是看著結果湊條件（證明題逆推法中槍的舉手！）。

寫一個微小元的能量守恆方程

$dot{E}_{in}-dot{E}_{out}+dot{E}_{generation}=frac{ddot{E}_{system}}{dt}$

畫完微小元後，

我們可以得到

$q_x+q_y+q_z-(q_{x+dx}+q_{y+dy}+q_{z+dz})+dot{q}_{gen}primeprimeprime imes dx dy dz= ho c_p frac{dT}{dt} dxdydz$

(T 應該是偏微分，一時間想不起來怎麼打了。。。)

這個時候，我們需要解決掉前6項，才能把公式求出來。我們的目標是將公式解成只帶T項的形式。於是我們先解決一下x方向。

$q_x=-k dydz frac{dT}{dx}$

這個時候，我們就會想如果能把 $q_x-q_{x+dx}$ 變一下就好了。

於是，我們把問題拿給了同學校的數學系大神，數學系大神正好讀到了一篇paper介紹了泰勒級數這個概念，隨後這個問題就被解決了。就決定是你了，泰勒級數！

4. 它在這種情況下滿足導數的定義。

之前 @Grit的回答說，這就是導數的定義，這種想法是正確的，這也是我一開始的想法。

後來我查閱一些書籍之後，發現我的傳熱學課本和CFD課本裡頭都在講這一段的時候先會用泰勒級數來解釋它，然後說「換一種說法，這也是函數的定義blablabla」

我猜測是這樣子的，很多時候，熱傳導問題是非常棒的有限節點問題，我記得我上傳熱的時候就有被要求寫代碼去算作業題。但是在做mesh的時候，我們沒有辦法真正做到dx無限趨近於零，因此在一些較粗糙的網格中，我們會採用更高階的泰勒級數展開來求解這個問題，出現到兩階的時候，就必須用泰勒級數展開來解釋了。

感覺可以不理解成泰勒展開啊。通過位於x的橫截面dydz的熱量為Q，然後由於一個dx的改變，通過位於x+dx的橫截面dydz的熱量發生了變化，這個變化除以dx是熱量變化率，也就是熱量的導數嘛。然後乘開就變成下面的方程了。所以我覺得這應該是用導數的定義做的。

泰勒級數展開是為了略去高階無窮小項吧

。這個就是基礎的微分方程啊，用泰勒公式展開就可以有級數啊，然後就可以進行無窮維度分析啊，簡單來說就是，用了泰勒公式之後就可以對每一點，對坐標軸，或者對時間進行微分，然後得到不同區間的熱量情況列方程。