曼德勃羅集的面積能算嗎？Julia 集（內部）呢？

01-27

實心的 M 的面積有公式 [1]：

$A=piBig(1-sum_{n=1}^infty nb_n^2Big)$

其中 $b_n$ 為將單位圓盤的外部映射到M 的外部的共形映射 $psi$ 的洛朗級數係數

$egin{align} psi(w) =w+sum_{n=0}^{infty}b_nw^{-n} \ = w- frac{1}{2}+ frac{1}{8}w^{-1}- frac{1}{4}w^{-2}+ frac{15}{128}w^{-3}- frac{47}{1024}w^{05}+dots end{align}$

$b_n$ 的遞歸表示如下：

$egin{aligned} b_n = egin{cases} - frac{1}{2} ext{for} n=0\ - frac{w_{n,n+1}}{n} ext{otherwise} end{cases} \ w_{n,m}=egin{cases} 0 ext{for} n=0 \ a_{m-1}+w_{n-1,m}+sum_{j=0}^{m-2} a_j w_{n-1,m-j-1} ext{otherwise} end{cases} \ a_j = u_{0,j+1} \ u_{n,k} = egin{cases} 1 ext{for} 2^n-1=k \ sum_{j=0}^k u_{n-1,j} u_{n-1,k-j} ext{for} 2^n-1>k \ 0 ext{for} 2^{n+1}-1>k \ frac{1}{2}left(u_{n+1,k}-sum_{j=1}^{k-1} u_{n,j} u_{n,k-j}<br /> ight) ext{otherwise} end{cases} end{aligned}$

A 的級數收斂非常緩慢，不過根據這個級數 A 的面積有上下界 [1.66,1.71]，然而用蒙特卡洛方法測量的面積都小於這個下界，因此很多人都猜測 $partialmathbf{M}$ 有正測度，反正它的 $mathrm{dim}_H=2$ 。

對二次函數的 Julia 集，已有證明其邊界有正面積的，參閱 [2]。這種集大概長這樣：

左圖位一個普通的 J，右圖中的參數由左圖的參數經過精心設計的擾動形成，其邊界形成了有正測度的區域。

參：

[1]：Ewing, J. H. and Schober, G. The Area of the Mandelbrot Set. Numer. Math. 61, 59-72, 1992.

[2]：Xavier Buff, Arnaud Chéritat, Quadratic Julia sets with positive area. Annals of Math. (2012) 176/2, p. 673-746

感覺這個問題我可以來強行回答一下。

博士期間的研究課題就是 Julia 集合的正測度，個人感覺研究 Julia 集合的正測度是非常困難的問題。

首先，Julia 集合的性質比較特殊：例如

如果 $f(z)=P(z)/Q(z)$ 是一個度數大於或者等於2的有理函數，其中 $P(z), Q(z)$ 都是多項式，那麼有理函數 $f(z)$ 的 Julia 集合 $J(f)$ 是非空的。
如果 $f(z)=P(z)/Q(z)$ 是一個度數大於或者等於2的有理函數，其中 $P(z), Q(z)$ 都是多項式，那麼有理函數 $f(z)$ 的 Julia 集合 $J(f)$ 要麼是一個復球面，要麼是無處稠密的緊集（nowhere dense compact set）。
如果 $f(z)=P(z)/Q(z)$ 是一個度數大於或者等於2的有理函數，那麼它的 Julia 集合 $J(f)$ 沒有孤立點（isolated points）。
如果 $f(z)=P(z)/Q(z)$ 是一個度數大於或者等於2的有理函數，那麼它的 Julia 集合 $J(f)$ 要麼是連通的（connected），要麼擁有不可數個連通分支。

有一些 Julia 集合 $J(f)$ 的例子：

其次，問題進展緩慢。

在1920年，Fatou提出了一個猜想：

是否存在一些度數 $geq$ 2的有理函數 $f(z)=P(z)/Q(z)$ ，使得它們擁有正測度的 Julia 集合？

這個問題非常難，以至於到了21世紀初才有解答：

在1994年，Bruin, Keller, Nowicki, VanStrien 寫了一篇文章「Wild Cantor Attractors Exist"，發表在 Annals of Mathematics 上，鏈接如下：Wild Cantor Attractors Exist。這篇文章的主要定理是：在實數軸上，存在一種 Fibonacci 的映射，函數的形式是 $f(x)=-|x|^{ell}+c_{1}, c_{1}in mathbb{R}$ ，它的集合 ${xinmathbb{R}:omega(x)subseteq omega(0)}$ 在實數軸上擁有正測度。主要思路是：（1）先證明 Real Bound Theorem；（2）使用 Martingale 的理論構造出Markov映射，然後從概率學的角度來證明上述集合存在正測度。這個定理的意義在於證明了實多項式在實數軸上存在正測度的 Julia 集合。
同年，也是1994年，Nowicki 和 VanStrien 在arxiv上面掛出了一篇文章：Polynomial maps with a Julia set of positive measure，鏈接如下：[math/9402215] Polynomial maps with a Julia set of positive measure。可惜的是：這篇文章存在gap，證明是錯誤的，其中錯誤的部分在 Section[10] 和 Section[11]。我個人詳細閱讀過，肯定是有Gap無法證明的。因此，這個問題 ${zinmathbb{C}:omega(z)subseteq omega(0)}$ 是否在復球面上是正測度是不確定的，也就是說該 Fibonacci 多項式 $f(z)=z^{ell}+c, cinmathbb{R}$ 的Julia集合 $J(f)$ 是否是正測度的依舊是未知的。
到了2012年，Xavier Buff 和 Arnaud Chéritat 發表了一篇文章 Quadratic Julia sets with positive Area，表明在二次多項式中，存在正測度的 Julia 集合。鏈接如下：Quadratic Julia sets with positive area。這篇文章同樣發表在 Annals of Mathematics 上，並且去國際數學家大會（ICM 2010）上面給了45分鐘的報告。
至今，貌似1994年 Nowicki 和 Van Strien 的論文的Gap還沒有補上。對於高次多項式是否存在正測度的 Julia 集合依舊未知。

當年的博士論文，就是在 Fibonacci 映射的基礎上做了一定的推廣，並且考慮了其餘的組合形式（Combinatorial Type）的多項式。大體的框架就是：

證明 Real Bound Theorem；
使用複變函數中的正則化等技巧得到一些關鍵點的 Taylor Series；
構造出相應的 Markov Map，使用第二步得到的 Taylor Series 計算出相應的下界，然後使用 Random Walk 和 Martingale 的理論可以得到主要的結論。也就是除了 Fibonacci 映射之外，還有其餘組合形式的多項式，它們在實數軸上存在正測度的 Julia 集合。

在這裡把之前所寫的兩份 PPT 貼出來，供大家參考：

（1）復動力系統（1）--- Fatou集與Julia集

（2）復動力系統（2）--- wild attractor 的存在性

無解, 孩子,你對混沌的恐怖一無所知...

人類對真正的混沌幾乎無計可施...

$Tiny{(可擬線性化的假混沌就不要來送人頭了...)}$

微積分的方法:

我們知道M集是由一個迭代過程產生的, 於是我們可以試著計算每次迭代的面積.

一次當然就是那個大圓

$x^2+y^2leq 4$

顯然面積和周長正好都是 $4pi$

二次迭代那個....那個....橢蛋?

經過推導方程是

$left(x^2+y^2 ight) left(x^2+2 x+y^2+1 ight)leq 4$

分離x

$|y|leq sqrt{frac{1}{2} left(-2 x^2-2 x-1 ight)+frac{1}{2} sqrt{4 x^2+4 x+17}},x∈[-1,2]$

積分....面積不可! 積!!

$A=2 int_0^{frac{sqrt{7}}{2}} sqrt{4 sqrt{4-y^2}-4 y^2+1} , dy$

要不上數值積分?

於是第三次迭代後的方程是...

$left(x^6+4 x^5+3 x^4 y^2+6 x^4+8 x^3 y^2+6 x^3+3 x^2 y^4+8 x^2 y^2+5 x^2+4 x y^4-2 x y^2+2 x+y^6+2 y^4-3 y^2+1 ight)<frac{4}{x^2+y^2}$

自行車墊?

我要死了, 我的草稿紙, 這個甚至沒法分離出 $y$ ...

式子都沒有還積什麼分....

看來微積分太弱了, 在分形面前毫無還手之力

我們試試複分析

https://arxiv.org/pdf/1709.00607.pdfarxiv.org

考慮將 $mathbb{M}$ 嵌入黎曼球面 $ar{mathbb{C}}=mathbb{C}/{infty}$ ,因為M是聯通集, 所以我們期望存在一個解析同胚 $psi(z)=z+sum _{m=0}^{infty } b_m z^{-m}$ 將 $1<|z|<infty$ 映射至 $ilde{mathbb{M}}=ar{mathbb{C}}/mathbb{M}$ ,於是面積可以表示為:

$box[#EFF,5px,border:2px solid red]{ A=pileft(1-sum _{m=1}^{infty } m |b_m|^2 ight)}$

於是我們可以設計一個演算法:

看不懂沒關係, 我來實現這個演算法...

b[0]:=-1/2; b[n_]:=b[n]=-w[n,n+1]/n; w[0,m_]:=0; w[n_,m_]:=w[n,m]=a[m-1]+w[n-1,m]+Sum[a[j]w[n-1,m-j-1],{j,0,m-2}]; a[j_]:=u[0,j+1]; u[n_,k_]:=u[n,k]=Which[ 2^n-1==k,1, 2^n-1&>k,Sum[u[n-1,j]u[n-1,k-j],{j,0,k}], 2^(n+1)-1&>k,0, True,(u[n+1,k]-Sum[u[n,j]u[n,k-j],{j,k-1}])/2 ]; Block[ {$RecursionLimit=Infinity}, (areas=Table[[Pi](1-Sum[n b[n]^2,{n,nmax}]),{nmax,256}]) ]; ListPlot[areas,PlotJoined-&>True,PlotStyle-&>Red,AxesLabel-&>TraditionalForm/@{n,Subscript[A, n]}]

結果令人無語

要計算200項面積才低於2

且項提高一倍, 時間提高10倍,全程要用高精整數

1024項要3小時, 結果面積才1.89534

2^16=65536項, area &< 1.75337

抬走下一個...

蒙塔卡羅?

省省吧, 你蒙塔卡羅才幾個精度...

雖然前面收斂快但是後面沒啥用了...

我們的最終答案是...數格子...

雖然不敢相信, 但這樣真的是收斂最快的...

Laurent Series, Mu-Ency at MROBwww.mrob.com

當然這個方法有點老了, 現在有自適應數格子的演算法:

效率要比這個高不少...

為什麼我不實現一下看看效果呢...

無他, 看不懂...

Download Limit Exceededciteseerx.ist.psu.edu

據我所知，曼德勃羅集已經茱莉亞集的勒貝格測度的計算多少的問題目前還是open的，而且難度很高。能做出來至少是ICM的45分鐘報告級別的成果。目前，很多人願意相信曼德勃羅集的邊界集合測度是零，但沒有證據。

目前一些可能最好的成果是：

1、有人聲明證明了曼德勃羅集的邊界集合的Hausdoff維度是2（see 這裡），這讓曼德勃羅集保留著正測度的可能。

2、有人證明了，存在茱莉亞集合有正測度(see 這裡)，這個是2010年ICM的45分鐘報告，後來發到2012的Annals上的。

另外，有人用統計的方法來「估計」曼德勃羅集的面積，大概思路是這樣，見這裡

關於Julia集合的面積目前知道多項式裡面正面積的例子好像主要是二次多項式。二次多項式的例子首先是由Buff和Arnaud Chéritat利用shishikura建立的拋物重整化理論得到。後來Avila和Lyubich在https://arxiv.org/pdf/1504.02986.pdf 中證明了Feigenbaum qudratic like 中具有正面的參數是正Hausdroff維數。在此文中，Avila和Lyubich猜測Buff和Cheritat構造出來的類型的參數可能是零維數，相對較少（僅僅是猜測）。

Mandelbrot集的面積據說按照計算集蒙特卡洛模擬角度來看，是正面積的。但是普遍上很多復動力系統專家的猜測可能是零面積的。Shishikura和Lyubich曾經相互獨立證明了Mandelbrot邊界對應的有窮次重整化的參數是零面積的。

PS：聽一個復動力系統的學長說，f（z）=sin z的Julia集是正面積的 (Mcmullen 證明的）。對於超越整函數裡面正面的例子太多了。

這個曼大爺集合真可能沒面積