常微分方程的解法的推導過程？

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人們是如何得出常微分方程的解法的呢？可以證明嗎？

首先關於常微分方程的解法做一些說明

到目前為止，我們已經知道常微分方程的一些初等解法，解決了幾類特殊的微分方程。但是，對許多微分方程，例如形式上很簡單的 $Riccati$ 方程

$y=x^{2} +y^{2}$

都不能通過初等積分法求解。事實上，大部分的微分方程，一般都不能用初等積分法來求解的，即不能用類似於分離變數法、積分因子法等方法來解出解析解，那麼就有一個問題：

怎樣解大多數微分方程？

這個問題分兩方面來回答：

一方面，對很多微分方程，我們並不需要知道它的解析解，而只需要知道解的某些定性形態，包括解的穩定性、周期性、漸進性等，這引出了常微分方程的定性理論；

另一方面，從工程實際出發，很多由工程問題建立的微分方程，我們是求其數值解的，這引出了微分方程的數值解法。

這回答了題主的第一個問題：人們是怎麼得出常微分方程的解法的，即不是直接求解常微分方程，而是間接地研究解的某些性態或者直接用數值方法求常微分方程的解。

題主的第二個問題：常微分方程的解法可以證明嗎？

當然可以證明，研究解的性態的定性理論不用說了，當然是證明過後才能認為是對的；微分方程的數值解法也是可以證明的，比如在ODE的數值解法中，我們要考慮數值方法的收斂性、穩定性等，只有一個數值方法是收斂的、穩定的，求出來的數值解才是可信的，所以當然可以證明。

常微分方程有很多種解法，視具體情況而定。解法的肯定是可以證明的，不過這些內容可以寫一本書呢。

建議看丁同仁、李承治的常微分方程教程