怎樣逐步學習dispersive equation？

看過一點Tao的書，寫的挺好但習題不會，所以基本屬於沒看懂。自己看過evans前七章，學過泛函(線性非線性)和調和。想知道有啥入門教材

Tao的書是非常好的參考資料，但是我覺得對一般的同學來說，刷Tao的書不合適。初學者上來看Tao的書很困難，但是當你對某一個topic學了一定程度之後Tao的書卻又不夠用了，所以建議直接看論文。下面列一些經典理論和最近比較熱門的主題。

一.低正則局部理論:

Strichatz估計: Keel, Tao的論文Endpoint Strichartz estimates，1997年左右

極大函數估計，局部光滑性以及分數次leibniz法則去做KdV: Kenig,Ponce,Vega, 1993年左右，做KdV的局部適定的論文

X s,b:Tao的教材

U_p V_p: Koch,Tataru,Visan合寫過一部專著，其中Koch寫的部分

二.整體解理論:

I 方法:直接看Tao他們的原始論文

散焦臨界方程: 先看Koch,Tataru,Visan合寫專著Visan寫的的部分，然後看Killip和Visan寫的臨界方程的Notes，在Visan主頁上可以下載到

聚焦臨界方程，基態能量以下: Kenig主頁上有兩個Notes，看那個關於方程的，不用看Concentration Compact/Rigidity那個

聚焦臨界方程，基態能量以上:目前沒有好的入門參考資料，可以看Nakanishi Schlag合寫的invariant manifold那個專著

小初值整體正則性的space time resonance方法: 沒有好的入門材料，可以先看Germain,Masmoudi,Shatah的3d quadratic NLS的論文，建立一下感覺，然後去Arxiv上搜Ionescu最近的論文，看那些不到100頁的論文

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再補充說明一下

1.局部理論

Strichartz估計最開始是由Fourier限制性估計導出的，但是後來發現其實不用那麼麻煩，直接用TT*加Hardy-Littlewood-Sobolev不等式就可以證明。但是往深了研究，其實就是限制性猜想，是比較調和分析的。

但是Strichartz有局限性，這個估計不能夠吸收導數。所以對KdV或其他導數色散方程來說，一個途徑是用極大函數估計和Kato的1/2光滑性來做局部解，另一個非常有力的工具是Bourgain的X^{s,b}空間方法。X^{s,b}方法需要做多線性估計，這個也是非常偏調和分析，需要頻率局部化之後，各種分類，再做不等式，細節極其繁瑣。而且X^{s,b}能解決的問題基本上早都被人做了，所以不要指望單純用這個方法再做出新的結果。

然後就是X^{s,b}的一些修正版本，比如Tataru引進的U_{p}V_{p}方法，可以看作是b=1/2時的X_{s,b}，他們用這個方法解決了一些之前遺留下來的一些端點問題。

2.整體解

從局部解到整體解，不可避免的要用先驗估計（大初值），這時緊性和變分的方法就介入了。而先驗估計則是從方程的結構里出來的。最有用的先驗估計就是能量。色散方程往往都是Hamilton系統，其方程是由能量求一下辛導數得出來的，自然有能量守恆。

能量一部分是動能，一部分是勢能，如果這兩部分都是正的，稱為散焦，如果勢能是負的，稱為聚焦。先驗估計有用的前提，一是具有強制性，即強迫方程的解屬於某個Sobolev空間，二是單調性。散焦情形，能量會強迫方程的解屬於H^{1}，而聚焦情形很容易構造Soliton，會更困難。

先說散焦：在次臨界正則性之下，即臨界正則性sc&<1，我們稱為能量次臨界，此時局部解的存在時間T依賴於初值的Sobolev範數|u_{0}|_{H^{s}}，在H^{1}里自然延拓可以得到整體解（散焦）。在臨界正則性sc=1之下，局部解的存在時間不再依賴於初值的範數，而是依賴於profile，這樣就沒法自然的延拓。但是我們發現如果沒有整體適定，會有能量集中的現象，通過Lions的集中緊方法（應用到色散方程有兩種辦法，一是Bourgain的Induction on energy，另一個是Minimal energy blowup solution的方法，這兩種方法本質上是等價的），可以得到一個critical element，一般來說可以分成三種情形

1.self-similar blowup

2.rapid frequency cascade

3.quasi-soliton

只要排除以上三種情況，就證明了整體適定。有很多方法去排除這些scenario，比如double duhamel, Morawetz估計（Bourgain的空間局部化的版本，Tao團隊的Interactive版本等），long time Strichatz等等.。

聚焦情形：之前的散焦理論，都是證明了方程的解整體存在且散射scattering，即長時間之後方程的解趨向於線性方程的解，所以其L^{infty}範數會趨向於0，即發生時間衰減。對聚焦方程，考慮時間獨立的解，那麼自然可以得到一個基態ground state——soliton，它隨時間不變，當然也不會有隨時間的衰減，那麼這個方程對一般的大初值顯然就不會有整體散射了。

然而這正是這個方程的極端情況。對聚焦能量，我們沒有強制性，但是如果把初值的能量限制在基態的能量之下，是可以開發強制性的，再通過判定一個符號泛函的正負，可以分辨出散射的解和有限blowup的解。這些需要變分的知識，對Schrodinger和Wave，變分過程很簡單，對於Klein Gordon方程，過程就非常複雜了。Tao的教材一大部分都是在介紹臨界方程。

基態能量之上的情形，就需要研究soliton附近的動力學，比如invariant manifold等等和動力系統有關的內容，完整的動力學分類由一個9 sets theorem描述，可以參考Nakanishi和Schlag的專著。

3.能量超臨界

剛才大部分內容介紹了豐富的臨界理論，對於能量超臨界，即sc&>1的情況，目前沒有一般的大初值整體解的存在性，即便是概率適定性，也是從中抽取臨界和次臨界的部分，再去套用經典理論，所以一般來說超臨界方程是沒法做的，這和Navier Stokes的情況很像。

能量超臨界的問題在於，能量不再具有單調性，通過rescaled solution可以構造出一個存在時間更長，能量卻更小的解。既然沒有先驗估計，那就假設一個先驗估計，所以現在的結果都是假設一個臨界範數有界，去推整體適定性。很多人都跟我說這樣做可能沒有多大意義，因為那個先驗估計很可能是不對的。這個套路最早是2003年Escauriaza, Seregin, Sverak做的關於Navier Stokes的推廣Serrin條件的一個端點的結果，即假設方程的解屬於L^infty_t L^3_x，推導整體正則性。

反過來想，這也就說明了，如果方程是有限blowup的，它的空間L3範數（即臨界範數）在第一個時間奇點趨向於正無窮，這就給了我們一個可能出現的奇點的一個刻畫，只要我們能排除掉所有奇點，那麼方程就是整體適定的。遺憾的是目前在色散方程基本上到第一步就為止了，我沒看到後續的工作。在NS方程里，Seregin等人用局部正則性理論發展了一套Liouville型定理，可以在一些特殊情形（如軸對稱時）排除掉Type II的blowup，但是熱半群有反向唯一性和好的unique continuation，這些在色散方程里都不適用。

謝邀，其它答案應該已經很完善了，我稍微說一點。

首先用Tao的書入門我認為可以，因為基本的東西它都有講；當然不基本的東西它也講了很多，比如第5章最後兩節就是他們(CKSTT)做critical NLS文章的一個sketch……初學的話我覺得可以先看基本的東西，剩下的有興趣可以以書為參考直接去看對應的文章。另外Tao的習題也有不少屬於擴展內容，所以有題目不會並不代表沒看懂。

具體來說，大概前三章仔細看完（3.9講I method的不用看太仔細，另外第一章是不是不看也行呢……我不知道w）就可以去找文章看了吧……具體每個方向的文章其它答案也說了不少，這裡補充一下random data相關的吧。這個方向也是Bourgain搞起來的，當然他的文章比較難讀，所以一開始讀Burq和Tzvetkov的文章就可以。另外Colliander-Oh有一篇文章（A站0904.2820）我覺得很經典，把這個方向的很多技巧都展示了一遍。

學習色散方程，一般會從比較經典的歐式空間里的薛定諤方程開始，這方面我推薦cazenave的「semilinear schrodinger equations」，這本書相對於Tao的更簡單易讀一些，適合初學者。

首先要把歐式空間里的基本套路都弄清楚，比如用Riesz-Thorin從kernel estimate到dispersive eatimate；用TT*，Christ-Kieslev從dispersive到Strichartz；Keel-Tao處理endpoint時候的dyadically分解（這個書里沒詳細證明，可以直接去讀論文，並不是很複雜）。然後要知道如何用這些估計解決最基本的well-possdeness和scattering問題。

這個時候你可以接著cazenave往下讀，然後同時開始看Tao了。根據自己的興趣，可以拓展到其他的色散方程，有答案已經提到了，不再贅述。

另一方面也可以考慮拓展到其他空間。到這裡已經沒有教材了，需要去讀論文。

緊流形可以看Bourgain(quotient group)，Burq-Gerard-Tzvetkov(compact manifold, n-sphere)(雖然這個結果丟掉了一些正則性，但是他們開發的這個工具很有用），Gerard-Pierfelice(4-dimensional manifold)等。

曾經學過一段時間的色散方程，但由於已經隔了兩三年了，所以以下觀點僅供參考。

在我看來，色散方程還是一個最好能有導師帶著學習的方向，因為「入門」色散方程，需要的知識儲備比較寬（入門階段暫時不需要多深）。題主是在國內還是在國外？國內的話，做色散方程的團隊不多，我知道的是，北大、中科院、北京九所、中科大、浙大、華中師大各有老師在做這個方向。色散方程下面的小方向還是有好些個，所以最好是由導師帶著，在把基礎知識掌握後，專攻某一個或者兩個方向。以討論班為例，專攻的方向的文章以能講為標準，其他方向則以能跟上為標準。

基礎知識裡面，泛函的部分需要L^p函數空間及其不等式、分布、運算元的譜的基本理論，調和分析部分的話，需要傅立葉分析、二進位分解、奇異積分運算元、Littlewood-Paley理論、震蕩積分。Grafakos的那一套《Classical Fourier Analysis》、《Modern Fourier Analysis》是很好的調和分析教材，這一套書的1-8章基本上涵蓋了色散方程所需的最基本調和分析，都學懂了之後看論文就很少再會有磕磕絆絆的感覺。震蕩積分可以看Stein的《Harmonic Analysis》的相應章節。

還有就是Tao的那本《Nonlinear Dispersive Equation》，以及他的早期論文《Endpoint Strichartz Estimates》。這本書需要慢慢啃，不用急著看完；這篇論文寫得很容易理解，其核心想法，T-T*方法可以參考Muscalu的《Classical and Multilinear Harmonic Analysis》的第九章。Strichartz估計是色散方程解的適定性理論的核心工具。陶哲軒寫的東西的一大特點是講得非常生動形象（另一個特點是typo特別多-_-!!!），所以在學新工具的時候，Tao的講義就是第一選擇，比如Morawetz估計、paraproducts decomposition，都可以看Tao的講義。還有就是多關注Tao的博客，Whatamp;amp;amp;#x27;s new ，他會在裡面講很多思想性的東西。知乎上面有些「大神」（比如某臭名昭著的逆向種族份子）看不上Tao，我只想說，這些人一輩子都別想追上Tao的尾氣。

半線性KdV、半線性薛定諤方程和半線性波方程是最基本的三類非線性色散方程，這裡「半線性」指的是方程右端的非線性項是 這種形式，這裡 是+1或-1，分別表示非聚焦(defocusing)或聚焦(focusing)兩種情況； 的不同則決定了方程屬於次臨界(subcritical)、臨界(critical)還是超臨界(supercritical)三種情況。這三類方程在色散方程中的地位，相當於Laplace方程、熱方程和波方程在二階線性PDE中的地位，它們提供了最基本最直觀的例子。

基礎知識學好之後，就可以根據讀博時準備專精的一兩個方向來深入學習了。比如想用概率論來做適定性理論，需要學不變測度；幾何色散（方程的解是從歐式空間到流型的映射）需要學微分幾何；解的動力學行為，就需要動力系統的理論。

色散方程裡面大家都關注的一個猜想是Soliton Resolution Conjecture，也叫Grand Conjecture，對，中文翻譯「大猜想」，就這麼俗的名字-_-!!!。這個猜想說得是，「大多數」NLW或者NLS的的解最終都會演化成一個或者多個孤立波，再加上一個衰減項。這裡「大多數」說明有反例，通常認為需要用一些"Stochastic"的工具來排除掉這些反例，所以概率論的東西又進來了。

我已經不記得還看過哪些書或論文，但已經有其他答主提供了一份清單。

一個能查詢部分參考文獻的網站是，Main Page - DispersiveWiki

個人認為，色散方程是一個非常有趣的方向，近年來的發展也非常快，新問題很多。當年因為種種原因，在學了一段時間後就放棄了，實為一大遺憾。