現行微積分體系的錯誤：dx與Δx的關係幽靈？
一般教科書上微積分是這樣定義的：首先定義增量函數：
Δy=f(x+Δx)-f(x)。 如果增量函數可以寫作Δy=AΔx+o(Δx),則將增量函數的線性主部稱為y的微分，即dy= AΔx。緊接著，為構造出dy=Adx的形式，根據現在的微積分教科書，包括北大工院張築生老師的《數學分析新講》、同濟五版《高等數學》、菲赫金哥爾茨《微積分學教程》等，有如下幾種方式，即：
其一，定義dx=Δx， 其二，通過函數y=x構造dy和AΔx之間的關係， 其三是映射的方式。然後我們得到dy=Adx這種形式。這個問題的表述，從幾何直觀上看，就是以直代曲何以可能的問題。定義如此，尚不足以構成問題，然而在推演過程中卻會出現邏輯矛盾的地方。如y=f(x),x=g(t)構成的複合函數，一方面我們有Δy=f』(x) Δx+o(Δx)= f』(x)(g』(t)Δt + o(Δt))+ o(Δx),而由於dy= f』(x)g』(t) Δt 不相等，從而產生矛盾。在菲赫金哥爾茨《微積分學教程》教程中有一個說明，即當x為自變數的時候，滿足dx=Δx，然而當x為因變數的時候，這個關係式卻不滿足。
那麼，如何看待現行微積分體系中的這一個邏輯問題。
謝邀。dx是線性映射，dy是線性映射，dy=Adx表示它們線性相關。
前面沒有提到卓里奇是為什麼呢……這樣看：f(x+h)-f(x)=A(x)(h)+o(h)
A(x)是x點處的線性映射，也就是俗稱的微分df，另外的名字叫切映射，推前映射。dx和df是一類東西，也就是把定義域上某一點上的切向量映射為值域上一點上的切向量。實際上dx是基，因而所以df都能寫為A(x)dx的形狀，A(x)就是依賴於每一點的係數，俗名導數f(x)。dx:TxR→TyR
h(?/?x)?h(?/?y)其中的?/?x為該點切空間的基矢（與dx相對偶的），?/?y為值域上對應點的切空間基矢。df僅僅是這個映射的倍數。嚴格來講，寫成dx可能會和餘切向量搞混，但只要記住這個x是映射x(t)=t的恆等映射就問題不是特別大了。這個事情看一般的賦范線性空間看得清楚一點，不然的話考察多變數即可：設f:R^m→R^n，此時df為線性映射，在自然基(dy^1,…,dy^m),(dx^1,…,dx^n)下的矩陣就是所謂的雅可比矩陣。這個映射df起的作用和單變數是相同的：在R^m上某點畫一個切向量，這個映射告訴你如何把它映射成為R^n中對應點的切向量。偏導數是什麼呢？是微分映射在自然基下的係數（隨著x的變化而變化）。dx是切空間中向量的坐標，切空間是一個線性空間，Tx-&>Ty(兩個切空間)可以建立線性映射(用矩陣表示比較形象)，其中的滿足dy(x)=A（x）dx(x)的映射構成對原函數的線性逼近，可簡記為dy=Adx，特別的，一元函數矩陣退化為"數"(域中的元素，實際上是域與1×1矩陣全體的同構)，這個數我們稱為導數。
首先，題目中給的定義，邏輯是自洽的。你說的這個式子展開就對了。。Δy＝f(x)(g(t)Δt+o(Δt))+o(Δx)展開一下，就是f(x)g(t)Δt+(f(x)o(Δt)+o(Δx))後面這一塊可以證明同時也是Δt的高階無窮小，那麼就有dy＝f(x)g(t)dt了。
至於Δx和dx的更直觀（手動滑稽）的定義，那就要在微分幾何裡面去講了。感興趣的讀者可以搜索關鍵詞：對偶矢量詳參《數學分析講義》第一卷
北京大學出版社版 陳天權
陳老師說這個定義微分的方式實在是非常爛，讓人云里霧裡不知所云，而且還不能推廣到更一般形式上的微分上去。要理解這個問題，必須要引入代數的觀點。
1樓 @張智浩 的回答已經講得非常透了，而且添加了自己的理解。卓立奇也是一本非常好的書。但是缺陷是在第一卷的微分中並沒有把這個問題說透，要到了第二卷在線性賦范空間（高維）才更容易把這個問題看透。
理解透這個問題對於非數學類專業來說還不是很容易。首先要有一定的線性代數基礎，得知道什麼是線性變換，什麼是基，什麼是線性變換在基下的矩陣。
變換是V到V上的映射，分析中一般用的是線性映射，Rn--&>Rm的線性映射。微分就是一個線性映射，導數則是線性映射在一組基下的矩陣。
可以聯想Jacobi矩陣，矢量分析Rn--&>Rm中他就是導數，一維R--&>R中他不過就是變成一行一列的了，所以是個數。其中dx又是一個很有意思的東西，因為他又是線性映射又是基。
再推薦一本好書，把經典數學分析中的所有術語都用線性代數的語言來描述了:《數學分析原理與方法》 胡適耕適合還沒有接受較高分析觀點的同學看的一本簡潔入理的好書教材。沒看懂樓主想幹什麼。。
學了實變就懂了，
現在學的微積分大體都是牛頓那個時代的東西，而數學的嚴格化是兩三個世紀之後的事了，有漏洞是正常的。等你學到19，20世紀的數學了，這些問題都迎刃而解了。推薦閱讀：
※一階線性齊次微分方程中的齊次的含義？
※偏微分方程解的存在唯一性？
※動力系統主要做的是哪幾個方向？
※矩陣，數列，微分方程的特徵值是什麼關係？