平面上是否存在一個點，使得該點到單位正方形的四個頂點的距離都是有理數?

01-27

貌似這個問題現今還沒有解決，不過偏向於無解。

不過可以延伸一下，此題變為對於正單位n邊形，是否在其平面存在點使得到其各頂點的距離均為有理數。其實n=4反倒是最難的。

n=3，是有解，且解在平面上是稠密的；

n=4，暫時沒有答案;

n=5，無解;

n=6，中心點便是一個解：

n&>=7，除了8，12，24外均無解;

n=8，12，24也暫時還沒有答案。

根據POINTS AT RATIONAL DISTANCE FROM THE VERTICES ...，若n邊形存在解，必然要存在非負有理數 $r_{1}...r_{n}$ ，使得 $frac{n}{4}cot{frac{pi}{n}}=sqrt{r_1}pm sqrt{r_2}pm... pmsqrt{r_n}$ 。

可以用代數理論證明除了8，12，24外n&>=7以上等式均無解。

另外，若考慮長方形A=(0,0), B=(0,1), C=(a,0), D=(a,1)，可以證明，滿足此長方形所在平面有無數個點到長方形四個頂點的距離均為有理數的a在R上也是稠密的。比如a=13/12和點(88/399, 55/133)。

若不僅限於二維情況，點可以取在R^3空間的話（此時正方形為A=(0,0,0), B=(0,1,0), C=(1,0,0), D=(0,1,0)）http://arxiv.org/pdf/1502.07312.pdf有結論如點在線x=1/2, y=1/2上是稠密的，在平面x=1/2上也是稠密的。實際上有可能點在R^3里是稠密的，但就不落在z=0上你也沒辦法。可能的值譬如x=41/27, y=77/108, z=28/27。

總的來說，此題暫時還沒有答案，求大牛解決。

我只提供一個思路.

設單位正方形,四個頂點的坐標為(±0.5, ±0.5)

平面上任意一點P,其極坐標為(r*sin(t), r*cos(t))

P到正方形頂點的距離為:sqrt((r*sin(t) ± 0.5)^2 + (r*cos(t) ± 0.5)^2)

簡化後可得:sqrt(r*r ± r*sin(t) ± r*cos(t) + 0.5)

需要證明這個公式 $sqrt{r*r pm ± r*sin(t) pm ± r*cos(t) + 0.5}$

是否存在r,t滿足四個值都為有理數.

雖然無法給出證明，但是我認為不存在。

假如存在，它一定會帶來勾股數的奇妙性質，甚至它可以用特殊形式表示，代入其它數值能得到更多的解。

但是現在一個解都沒有。所以我猜是歇菜。

【說在前頭...我沒搞出來....】

非數學系學渣，本來想偷個懶看看有沒有這樣的點的....但好像以我的能力解決不了了....我覺得應該得靠純理論了，我這個方法利用了計算機精度的問題，最後也敗在了計算機精度的問題上…你們加油，我先睡了…（更新：關於精度的問題好像出錯了...謝謝評論裡面 @wang17 的指正..歡迎繼續指導...）

顯然是個非線性最優化問題，我就用了matlab遺傳工具箱試了試，看看能不能運氣好找到那個點...

然後原理就是利用程序語言的精度差異，若一個數開方，再平方，若跟原來數不同，那麼這個數的開方就不是有理數。

step1:eg:根號3是無理數，大家都知道~

step2:然後編寫一個遺傳演算法的適應度評價函數：

很簡單，就像這樣，也就是把每個邊的差異加起來作為適應度函數，顯而易見當value等於0的時候就找到那個解了。。

不過。。。顯然沒有那麼簡單

step3:

好吧，顯然失敗了。。別看都在best是0，其實是精度不夠了....深夜開腦洞...明早起來坐等數學大神收割....（或者有誰知道我這個怎麼改進的，交流下好了，剛學會用遺傳工具箱...hahahaha

這個問題有沒有可能用量子計算解決？如果量子態是用有理數標記，希爾伯特空間也是無窮維德。我只是吹吹水。