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偏微分方程

關於truding二階橢圓偏微分的一點疑問？

01-27

如圖所示，if the function f in 4.2 belong to C∞(Ω),we see by writing that the function w(x) will belong to C∞(Ω),請問這裡是怎麼看出來的？嚴格的證明應該怎麼寫？還有後面如果f僅僅連續，w不一定二階可微，有什麼反例嗎？

謝邀，第一個問題很簡單，你得明白 fundamental solution $Gamma(cdot)$ 在多次求導後奇性會越來越大。

也就是說，如果你直接這些寫

$D^alpha w(x)=int_{mathbb{R}^n}D^alpha Gamma(x-y)f(y)dy$ ,

你面臨的最大問題是 $D^alpha Gamma(x-y) f(y) otin L^1$ （ $alpha$ 太大的時候）。這樣，這個積分就沒有恰當定義的了。但是，如果 $fin C_c^infty$ ,我們可以寫成你說的那個樣子，於是我們有

$D^alpha w(x)=int_{mathbb{R}^n}Gamma(x-y)D^alpha f(y)dy$ ,

由於 $D^alpha f(y)in C_c^infty$ ,不難發現 $D^alpha w(x)$ 依然是連續的，如果這都看不出來，我推薦你重新學習rudin的實分析，pde對於分析的要求還是有的，不是你會一個分部積分就能來學習的。

至於為什麼走不到二次連續也是類似的原因， $D_{i,j}Gamma$ 的奇性是很大的，雖然在Calderon-Zygmund 運算元理論中，我們可以讓它 $D_{i,j}Gamma star f$ 變成一個 $L^p$ 到自身的有界運算元。這是後面Lp估計需要的工具。這裡就不多說了。

如果你耐心看完這本書後面的Lemma 4.2和4.3就明白為什麼只是連續是不夠的。本質上是

$D_{i,j}Gamma(x-y)$ 奇性太大，於是需要 $f$ 是Holder連續，讓 $f(y)-f(x)$ 助攻，這樣就可以保證積分沒問題。

最關鍵是理解這一步：

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