如何學習以及評價Gilbarg-Trudinger的書？

01-27

我個人認為這本書適合已經學過一些基本的pde後再來研讀。拋開一些typo這樣的難以避免的問題外，這本書我個人覺得其實在編排上有一些問題不太適合初學者。

上面的答案提到了Han-Lin的書，我就以此舉個例子，供大家參考。GT的書講連續性方法是在某一糅合了許多Banach空間理論的一章，之前一小節是泛函分析的基礎知識，之後一小節是Fredholm alternative。GT的書在後面才再次拿出這個定理應用。而Han-Lin的書則是直接用連續性方法證明了變係數二階線性運算元的C^{2,alpha}的解在充分好的邊值及一些條件下的存在性。

其實Han-Lin的書的gap也很多，但從這裡就能看出來，他們的書有很好的對方法和motivation的講解，但GT很多時候則有羅列結論之嫌。不過這也令GT很完整，這也是為什麼大家喜歡引這本書吧。

G-T的書是經典，基本上學橢圓PDE的都要會前九章，學會補充裡面的細節是對分析能力很好的鍛煉，習題可以試著做，但有一些相當有難度，因為作者有時候把自己的文章一些比較sharp的例子放到習題裡面。

但是處理的方式有些古典，初學者容易迷失在繁雜的細節當中而看不到大的picture，建議結合Connor Mooney的notes學習：見Connor Mooney

他的note很好的反映了Caffarelli學派的風格，很多幾何直觀，可以試著根據他note的提示一步一步把整套正則性理論構建起來，這樣很快就能抓住要點。比方說：不用管一般的domain，只要把1球跟1/2球搞定就行了（Why？），係數實際上也不用考慮那麼一般的，能把laplace反覆倒騰清楚也很了不起。G-T不能偏廢，至少讀完了後面看到複雜係數的方程不會心慌。在G-T讀完後如果有時間有精力不妨讀讀Cafarelli-Cabre的Fully nonlinear elliptic equations.

讀過台灣交通大學林松山教授的一篇回憶性文章，裡面一段講了數學家林長壽是怎樣學Gilbarg-Trudinger的，特別有意思，原話分享在下面：

「除了無法學的天生創意外，我問他（林長壽），他的估計能力怎麼那麼強？他說他在台灣念碩士時，想學PDE，就自己把Gilbarg-Trudinger的書先讀一遍。仔細去驗證定理證明，過了二三個月，定理證明的細節都忘了差不多後，就將書合起來把書本定理重新證一遍，看哪裡過不去，再去比較書本的證明及技巧。整本書做完後，再等個半年，證明細節淡掉之後，再重新做一遍。這樣下來，真正有『眉角』過不去的地方，就可以清楚地看出來，接著再去看別人怎麼走過去的。這真像金庸小說里的周伯通在練功。」

林松山教授這篇回憶性文章最後是這樣結尾的：

臨別時向他說「Hi，Luis，every time I see you, I learn a lot from you.」

他笑著說「You exaggerate！」

這本書號稱是橢圓方程的聖經，但是可讀性很差。適合引用以及查閱一些別的書沒有的結果。

橢圓方程做的最好的當然還是caffaralli以及他的學生，他們的東西有個共同點就是具備intuition及幾何直觀。

我覺得你說的是《二階橢圓形方程》這本書，對吧？初學者（完全不懂pde的人，連sobolev空間是什麼都不知道的人）不要接觸，建議學完evans再來看，那樣會容易得多。二位大佬寫的書對於初學者不好看懂，很多證明過程都有所簡略，建議自己去補完，魔鬼在細節之中，補充好這些細節雖然會花很多時間，但是很幫助你理解，我聽說過某位教授用這個教材上課，寫的note（教案）就是書的三倍厚（非常詳細的），林芳華的那本作為教材其實感覺上更好一點。但是作為reference是很好的，寫論文引用他們的這本書。

瀉藥，G-T的書我一直當參考書用的。感覺書的風格我很喜歡，也不是很難。之前被我的PDE老師逼著去啃了Morrey的書，再看G-T，感覺它實在太友好了。

可能是書的容量限制，有許多橢圓方程的基本內容沒有講到。不過如果讀者不是專門學方程的，基本這本書還是夠用的。

推薦讀完G-T之後讀讀Lions,林芳華，Cafferelli,Brezis等人的文章來大致了解橢圓PDE的一般理論。

搞PDE的人必讀的書。很多證明寫的簡略了，沒有一定分析功底還原不出來。

PDE version of hartshorne

首先感謝下@dhchen之前寫的某個答案，寫latex文檔的方式，一邊寫一邊去整理思路的方法學習。受教以後，現在自學GT中，一邊學一邊整理思路寫感悟，一邊去思考修改之前寫的，這樣各種證明框架都記得很清楚，現在一個多月終於看了半本書了，要很好的理解得花一整學期了。