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一階線性齊次微分方程中的齊次的含義？

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與齊次方程中的齊次的區別

原問題：一階線性齊次微分方程中的齊次的含義

與齊次方程中的齊次的區別

首先說一下什麼是齊次方程

齊次方程（homogeneous equation）是指每個項裡面未知數的次數相同。

題主之所以發出這樣的疑問，是因為判斷齊次方程時的標準不同，即根據誰的次數來判斷是否齊次。

根據 $y$ , $y$ 的次數

我們知道，一階線性齊次微分方程是形如 $frac{dy}{dx}+P(x)y=0$ 或者說 $y$ 的方程，這裡的齊次指的是從左到右， $y$ 和 $y$ 的次數分別是1和1，所以它是其次方程。

根據 $x$ 和 $y$ ...的次數

比如 $(xy-y^2)dx-(x^2-2xy)dy=0$ 這樣的方程， $x$ 和 $y$ 合起來的次數從左到右分別是2，2，2，2（ $dx$ 和 $dy$ 不考慮），所以叫它齊次方程。而這樣的方程由於每一項所含 $x$ 和 $y$ 合起來的次數相同，所以可以化簡為 $frac{dy}{dx}=varphi(frac{y}{x})$

總之，齊次方程是什麼齊次，取決於視誰為未知數。

微分方程中

線性是指

未知函數 $y、y$ …這些項的次數是一次，而不是 $y^2 、(y$ 。在一次的情況下，可以保證微分方程中的兩個解的線性組合仍然是方程的解

階數是指

微分方程中未知函數微分的最高階數。

例如

$y$

中，未知函數y最高階微分是二階，所及上邊這個方程就是二階微分方程。

又因為，上述方程未知函數y的所有微分都是一次的，所以它是線性的。

所以可稱作 二階線性微分方程

齊次

齊次的概念，樓上的哥們已經回答了。

維基這樣定義 Homogeneous differential equation 和 @希臘橄欖的第二段意思一樣。

我稍微補充下。我在柯朗的《微積分和數學分析引論》中，第一卷第二分冊，p718讀到：

如果沒有出現外力，即如果 $f(t)=0$ ,則稱運動為自由運動，這個微分方程就是 齊次的 。如果 $f(t)$ 不是最一切 $t$ 值來說都等於零，我們就說運動是強迫的，並且稱微分方程是 非齊次的，偶爾，也把 $f(t)$ 叫做 擾動項

也就是說，柯朗給出了除了 $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$ 這種類型的其他微分方程齊次的定義。

對

$y$

$y$

這種都是非齊次的。

$y$ 是二階齊次線性微分方程。

我也是剛剛學完，正在複習考試，對這個有疑惑，自己總結的答案。@醬紫君求指導

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