微分方程變數分離後積分是否不嚴謹？

01-27

按照華東師範大學《數學分析》第四版的敘述：不定積分∫ ？dx是對某個函數g(x)做的運算（問號代表某函數）
而常微分方程教材分離變數法里是對g(x)dx做不定積分運算，按照上一段的寫法似乎該寫成 ∫[g(x)dx]dx 但教材上"兩邊積分"直接寫成了∫g(x)dx的做法是否缺乏依據？

普通情況， $[y = f(x) Rightarrow frac{{{ ext{d}}y}}{{{ ext{d}}x}} = f(x) Rightarrow { ext{d}}y = f(x){ ext{d}}x]$

對 $[{ ext{d}}y = f(x){ ext{d}}x]$ 兩端積分，是指對兩端的函數求其原函數，

左端的函數是 $1$ ,右端的函數是 $[f(x)]$ ，根據不定積分的定義，對函數求不定積分（求其原函數），就是「對某個函數做的運算」，即

$[int {{ ext{d}}y} = int {f(x){ ext{d}}x} ]$

而不是對函數的微分（ $「f(x){ ext{d}}x」,「{ ext{d}}y」$ ）進行運算，錯誤寫成

$[int {left( {{ ext{d}}y} ight)} { ext{d}}y = int {left[ {f(x){ ext{d}}x} ight]} { ext{d}}x]$