三階微分方程的初值問題的幾何意義是什麼？

01-27

二階微分方程初值問題的幾何意義是指通過點（x0，y0）且在該點處切線斜率為y0的那條積分曲線。那麼三階微分方程初值問題的幾何意義是什麼呢？

首先你說的是一階方程，微分方程的階數是其中含有的未知函數最高次導數的階數。

一般的一階常微分方程可以寫成：

$f(x,y,y)=0$

你說的那種還得要求顯式：

$y=f(x,y)$

現在看高階方程，實際上你要的是二階導數、三階導數的幾何意義，它們沒有直接的幾何意義，但是間接地與曲線的曲率和撓率掛鉤。不過注意，只有3維的曲線是有撓率的，只在平面上看，那麼三階導數就沒有幾何意義。

實際上，n階方程 $y^{(n)}=f(x,y,y,...,y^{(n-1)})$ 可以化成一階n元方程：

$y_1=y_2$

$y_2=y_3$

……

$y_{n-1}=y_n$

$y_n=f(x,y_1,y_2,...,y_n)$

這實際上給出了n維空間中的一條曲線上任意一點，與曲線的切向量的關係。

在一些實際問題中，三階的邊界條件也是有實際意義的。比如歐拉-伯努利梁的方程是一個四階的微分方程，它的三階邊界條件的意義是邊界上的剪力。我認為相比於它的幾何含義，其物理意義要更好理解。