常數變易法的思想來源是什麼？

01-27

這個方法在大部分教材上都沒有特別說明。

方程

$a(x)frac{dy}{dx} +b(x)y=c(x)$

叫做一階線性微分方程.改寫為

$frac{dy}{dx} +frac{b(x)}{a(x)} y=frac{c(x)}{a(x)}$ ,記為 $frac{dy}{dx} +P(x)y=Q(x)$ ,或 $frac{dy}{dx} =-P(x)+Q(x)$ ,一般形式為

$y=f(x,y)$ .

當 $c(x)=0$ 時，方程 $a(x)frac{dy}{dx} +b(x)y=0$ 稱為一階齊次線性微分方程，其中 $a(x)$ 和 $b(x)$ 是自變數

$x$ 的函數，這個方程的解可以通過積分求出.

等號兩端同時乘以 $dx$ ,再除以 $a(x)y$ ,整理得

$frac{1}{y} dy=-frac{b(x)}{ a(x})dx$ ,兩端積分，得

$ln |y| = - int {frac{{b(x)}}{{a(x)}}dx} + K$ ,其中 $K$ 是任意常數.則

$y = pm {e^K}{e^{ - int {[b(x)/a(x)]dx} }}$

因為 $K$ 是任意常數，從而 $pm {e^K}$ 是非零的任意常數，可知 $y=0$ 也是原方程的解，因此方程的解為

$y = C{e^{ - int {[b(x)/a(x)]dx} }}$ ,其中 $C$ 為任意常數.

以上解法只適用於一階齊次線性微分方程，當 $c(x) e 0$ 時，方程

$a(x)frac{{dy}}{{dx}} + b(x)y = c(x)$

的解會稍微複雜.我們來解這個方程，對於方程的左端，如果 $b(x)$ 恰好是 $a(x)$ 的導數，即

$a (x)=b(x)$ ，那麼左端就是 $a(x)y$ 的導數，即

$frac{{{ ext{d}}[aleft( x ight)y]}}{{{ ext{d}}x}} = aleft( x ight)frac{{dy}}{{dx}} + aleft( x ight)y$ ,

則

$frac{{d[a(x)y]}}{{dx}} = c(x)$

兩端積分，得

$a(x)y = int {c(x)} dx + K$ ，其中 $K$ 是任意常數，得

$y = frac{1}{{a(x)}}[int {c(x)} dx + K]$

上面的解法只適用於 $y$ 的係數 $b(x)$ 恰好是 $frac{{dy}}{{dx}}$ 的係數的導數的情況，這不是一般情況，但是我們也許可以在一般的非齊次線性微分方程兩端乘以某個函數 $u(x)$ ，而將該方程轉化為上面的情況，即

$u(x)a(x)frac{{dy}}{{dx}} + u(x)b(x)y = u(x)c(x)$

這裡選擇的函數 $u(x)$ 能夠使 $u(x)b(x)$ 為 $u(x)a(x)$ 的導數，即

$frac{{d[u(x)a(x)]}}{{dx}} = u(x)frac{{da(x)}}{{dx}} + frac{{du(x)}}{{dx}}a(x) = u(x)b(x)$

重新整理，得

$a(x)frac{{du(x)}}{{dx}} + u(x)[frac{{da(x)}}{{dx}} - b(x)] = 0$

這是一個關於函數 $u(x)$ 的一階齊次線性微分方程，如果我們把

$frac{{da(x)}}{{dx}} - b(x)$

看作函數 $u(x)$ 的係數，則

$frac{{du(x)}}{{u(x)}} = - frac{1}{{a(x)}}[frac{{da(x)}}{{dx}} - b(x)]dx$

兩端積分，得

$int {frac{{du(x)}}{{u(x)}}} = - int {frac{1}{{a(x)}}[frac{{da(x)}}{{dx}} - b(x)]dx}$

$ln |u(x)| = - int {{ frac{1}{{a(x)}}[frac{{da(x)}}{{dx}} - b(x)]} dx} + K$

其中 $K$ 是任意常數.

$left| {u(x)} ight| = {{ ext{e}}^{ - int {left{ {frac{1}{{aleft( x ight)}}left[ {frac{{{ ext{d}}aleft( x ight)}}{{{ ext{d}}x}} - bleft( x ight)} ight]} ight}{ ext{d}}x} + K}}$

$u(x) = pm {{ ext{e}}^K} cdot {{ ext{e}}^{ - mathop {int {left{ {frac{1}{{a(x)}}left[ {frac{{{ ext{d}}a(x)}}{{{ ext{d}}x}} - b(x)} ight]} ight}{ ext{d}}x} } olimits }}$

其中 $pm ±e^K$

是不為零的任意常數，因為 $u(x)=0$ 也使方程

$a(x)frac{{du(x)}}{{dx}} + u(x)[frac{{da(x)}}{{dx}} - b(x)] = 0$

成立，因此用任意常數 $k$ 代替 $pm ±e^K$ ，解得

$u(x) = k{{ ext{e}}^{ - int {left{ {frac{1}{{a(x)}}left[ {frac{{{ ext{d}}a(x)}}{{{ ext{d}}x}} - b(x)} ight]} ight}{ ext{d}}x} }}$

從而，一階非齊次線性微分方程 $a(x)frac{{dy}}{{dx}} + b(x)y = c(x)$ 在乘以函數 $u(x)$ 後所得方程

$u(x)a(x)frac{{dy}}{{dx}} + u(x)b(x)y = u(x)c(x)$

的解可以以如下形式表示

$d{ [u(x)a(x)]y} = u(x)c(x)dx$

兩端積分，得

$u(x)a(x)y = int {u(x)c(x)dx} + C$

$y = frac{1}{{u(x)a(x)}}[int {u(x)c(x)dx} + C$

$y = frac{1}{{kaleft( x ight){{ ext{e}}^{ - int {left{ {frac{1}{{aleft( x ight)}}left[ {frac{{{ ext{d}}aleft( x ight)}}{{{ ext{d}}x}} - bleft( x ight)} ight]} ight}} { ext{d}}x}}}}left[ {int {kcleft( x ight){{ ext{e}}^{ - int {left{ {frac{1}{{aleft( x ight)}}left[ {frac{{{ ext{d}}aleft( x ight)}}{{{ ext{d}}x}} - bleft( x ight)} ight]} ight}} { ext{d}}x}}} dx + C} ight]$

$y = frac{1}{{aleft( x ight){{ ext{e}}^{ - int {left{ {frac{1}{{aleft( x ight)}}left[ {frac{{{ ext{d}}aleft( x ight)}}{{{ ext{d}}x}} - bleft( x ight)} ight]} ight}} { ext{d}}x}}}}left[ {int {cleft( x ight){{ ext{e}}^{ - int {left{ {frac{1}{{aleft( x ight)}}left[ {frac{{{ ext{d}}aleft( x ight)}}{{{ ext{d}}x}} - bleft( x ight)} ight]} ight}} { ext{d}}x}}} dx + frac{C}{k}} ight]$

對於非齊次一階線性微分方程 $frac{{dy}}{{dx}} + P(x)y = Q(x)$

兩端乘以 $u(x)$ ，得

$u(x)frac{{dy}}{{dx}} + u(x)P(x)y = u(x)Q(x)$

$frac{{du(x)}}{{dx}} = u(x)P(x)$

$frac{{du(x)}}{{u(x)}} = P(x){ ext{d}}x$

$ln |u(x)| = int {P(x){ ext{d}}x} + C$

$u(x) = pm {{ ext{e}}^C}{{ ext{e}}^{int {P(x){ ext{d}}x} }}$

$u(x) = {C_1}{{ ext{e}}^{int {P(x){ ext{d}}x} }}$

$frac{{d[u(x)y]}}{{{ ext{d}}x}} = u(x)Q(x)$

$d[u(x)y] = u(x)Q(x){ ext{d}}x$

$u(x)y = int {u(x)Q(x){ ext{d}}x} + {C_2}$

$y = frac{1}{{u(x)}}[int {u(x)Q(x){ ext{d}}x} + {C_2}]$

$y = frac{1}{{{C_1}{{ ext{e}}^{int {P(x){ ext{d}}x} }}}}[int {{C_1}{{ ext{e}}^{int {P(x){ ext{d}}x} }}Q(x){ ext{d}}x} + {C_2}]$

$y = frac{1}{{{C_1}{{ ext{e}}^{int {P(x){ ext{d}}x} }}}}int {{C_1}{{ ext{e}}^{int {P(x){ ext{d}}x} }}Q(x){ ext{d}}x} + frac{{{C_2}}}{{{C_1}{{ ext{e}}^{int {P(x){ ext{d}}x} }}}}$

$y = frac{1}{{{{ ext{e}}^{int {P(x){ ext{d}}x} }}}}int {{{ ext{e}}^{int {P(x){ ext{d}}x} }}Q(x){ ext{d}}x} + C{{ ext{e}}^{ - int {P(x){ ext{d}}x} }}$

$y = {{ ext{e}}^{ - int {P(x){ ext{d}}x} }}int {{{ ext{e}}^{int {P(x){ ext{d}}x} }}Q(x){ ext{d}}x} + C{{ ext{e}}^{ - int {P(x){ ext{d}}x} }}$

$y = C{{ ext{e}}^{ - int {P(x){ ext{d}}x} }} + {{ ext{e}}^{ - int {P(x){ ext{d}}x} }}int {Q(x){{ ext{e}}^{int {P(x){ ext{d}}x} }}{ ext{d}}x}$

來源：阿爾法微積分，專註微積分

轉載請註明出處。

學這塊時我的理解是根據f(x)×g(x)的求導法則想到常數變異的。

[如果這個問題問的是前人如何想到常數變異的話]

淺析常微分方程的常數變易法_百度文庫