用那個在傅立葉分析里非常經典的一維平面波來表示量子力學的一個波函數是不是不正當的？

我在好多地方都看到過這種說法 以這個最簡單的波函數來做一些推導什麼的 比如推導動量算符 但是我覺得這個形式的波函數兩點不對勁的地方：

1.不符合海森堡不確定性 似乎這個形式的動量是定值

2.這個波函數的模長的平方在整個空間的積分不收斂

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動量確定的代價是，位置完全不確定，這是一種極端情形。

至於歸一化，因為單粒子不是束縛態，它會從無限遠入射，無限遠出射，所以自然無法歸一化。如果需要歸一化，可以把體積取為有限大，積分的結果就不會發散，被稱作箱歸一化。

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謝邀。

@ATP合成酶 的答案是正確的，我再講詳細一點吧。

題主問的第一個問題

動量是確定的？

沒錯，動量是確定的。

題主給的方程，代表平面波函數，描述的是充滿全空間的，無限大等相面，從無窮遠出來，到無窮遠處去的波形態。很明顯，這種波在現實中是不存在的。那麼這種波的空間不確定度是多少呢？當然是無窮大。因為波充斥了整個空間嘛，到處都是波，粒子在空間各處都有概率（也就是公式中的r不管是多少，代入公式都可以得到一樣的概率密度）。

根據不確定性原理，，當空間不確定度無窮大的時候，動量不確定度就是0了。

題主的第二個問題：波函數無法歸一化？

這是因為這個波函數描述的是傳播態。只有束縛態的波函數，才可以全空間歸一化。

傳播態的特點是，無分立能級，波函數全空間積分發散。

此時我們可以用兩種方法將其歸一化，函數歸一化，或者箱歸一化。

具體的操作方法可以看

蘇汝鏗《量子力學》第二版，第三章，第四節，「連續譜本徵函數」。

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這個平面波解是薛定諤方程在勢能v(r,t)為0時候的特解，也就是unbounded space。更嚴格的形式是是個波包

如果p動量是確定的話，上式退化成為平面波解也就是題主給的形式

所以波函數的動量表達式和位置表達式是互為傅里葉變換的，如果學過信號傅里葉變換就知道，時域有限信號的傅里葉變換是頻域無限信號。所以動量確定的話其概率密度函數是一個衝激信號（狄拉克函數），則其相應的位置的概率密度函數在整個位置空間中平均分布也就是位置完全不確定。

上面這個特解也是動量p的一個本徵波函數。實際上根據傅里葉變換，波函數都可以寫成若干本徵函數疊加。

想收斂也很簡單，收斂的平面波解是

v可以理解為整個空間的體積，因為v無窮大，所以就收斂了。

給題主一點建議，開始學量子力學的時候有時候不要太陷入數學細節裡面，盡量先大體過一遍理解裡面的物理概念。因為教材一開始舉這個平面波的例子也是為了輔助學生理解，數學上肯定有不嚴謹的地方。等到題主學的多了，讀一些國外的書，就能理解更嚴格的形式了。

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從數學上來說是不正當的

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