有哪些重要的數學家支持直覺主義？理由是什麼？

01-27

除了Brouwer,發現好多20世紀很有分量的數學家，如Poincare,Kolmogorov,weyl都支持直覺主義，除了這些還有哪些數學家支持，各自的理由是什麼，當代的數學家又是如何看待數學基礎的？

答案都講選擇公理，在下講一下算術吧。即便不考慮集合論，把數學家都限制在算術上，也是有充分的理由支持直覺主義的。

記直覺主義算術（Heyting Arithmetic）為 $HA$ ，經典算術（Peano Arithmetic）為 $PA$ 。固定算術語言 $L_{mathcal{AR}}$ 。記 $varphi^N$ 為 $varphi$ 的哥德爾-甘岑翻譯。

定理：對任意公式 $varphi$ ，如果 $PAvdash varphi$ ，那麼 $HAvdash_I varphi^N$ 。

同時注意有：對任意公式 $varphi$ ， $vdash varphileftrightarrowvarphi^N$ 。

定理的證明並不顯然，需要若干引理，並且引理的證明與採用的翻譯相關，很長就不寫了。

但這兩個結果意味著：（a）從經典算術的視角看，直覺主義算術的定理並不「少」。（並且這平凡地蘊含了經典算術對直覺主義算術的相對一致性。）（b）在（a）的意義上，直覺主義算術比經典算術包含了更多的信息，因為直覺主義算術只允許構造性證明，但在損失了一條公理的情況下並沒有降低理論的強度。

但要注意的是，從直覺主義算術內部看，顯然是有經典算術的定理直覺主義算術不能證明的。證明論中這種理論內外的區分頗有些集合論中模型內外區分的味道。

大多數現代數學家

Q：你對數理邏輯感興趣么

A：（打著哈欠趴下）不感興趣

Q：我覺得數學裡不該用選擇公理

A：（跳起來）我*%#$#@!

Youre my Axiom of Choice, you know its true.

感覺應該是大部分人不太關心數學基礎，至少不會深入研究這個問題。

貼幾個關於選擇公理。

本科上實分析的老師，俄羅斯人，說他們發paper，一般是會避免使用選擇公理的，如果用了是會覺得這個證明不夠好。看了一下他的網頁，他是研究黎曼幾何的。

研究生讀概率論的老師，法國人，說過：我們概率學家如果不能用選擇公理那就太悲哀了。

教泛函分析的老師是PDE大師，他本人教課的時候很強調intuition並且堅決反對過於抽象的分析，他上課是經常舉用各種例子。不過因為本人分析功底和PDE太弱，對我來說，他舉的例子比泛函課程的內容還要難，例如哪些情況下Schr?dinger operator是self-adjoint的。。。然後印象里至少Hahn-Banach定理是用了Zorns lemma，所以也就等同於使用了選擇公理。雖然他教的很難但是我很喜歡這個老師的style...

只能信奉直覺主義的理科學渣路過。

不多

在數學家是否有爭論這個問題里，有答案提到一個以色列數學家不承認無窮大，應該跟直覺主義是一派的