為什麼一個數是3的倍數當且僅當它的各位數之和是3的倍數？

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隨便取個數,比如

也就是說一個數和其數位和模3同餘.

所以一個數能被3整除的話數位和也能被3整除

以此類推數位和的和的和的和都能被3整除

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update

這個好像是小學奧數技巧,369的倍數快速判斷

9的話也是同理

6的話 一個數是6的倍數,這個數一定是2和3的倍數

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證：

∵ 10≡1(mod 3)

∴ 10^n ≡ 1 (mod 3)

設十進位數 N = a_(n-1)...a_1a_0,

N=a_(n-1)*10^(n-1)+...+a_1*10+a_0

≡a_(n-1)+...+a_1+a_0 (mod 3)

即N≡0(mod 3)的 充要條件為 N在10進位下各位數位和≡0(mod 3)

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因為10^n除以3餘1

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或許可以用同餘來解釋，若 a、b、c……為整數，則：

a≡a (mod 3)

10b≡b (mod 3)

100c≡c (mod 3)

……

那麼：

100c+10b+a≡c+b+a (mod 3)

類似的，對於 1000 以內的自然數，判斷能否被 7 整除，也可以通過同餘來判斷：

a≡a (mod 7)

10b≡3b (mod 7)

100c≡2c (mod 7)

……

那麼：

100c+10b+a≡2c+3b+a (mod 7)

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與其說是和為3就是3的倍數

倒不如說和為9就是9的倍數

因為我們是10進位的

十進位的進位（例如個位到十位）

10相當於9加上1

前面那個9被9整除掉了

餘下了1，十位恰好進1

所以無論你弄大數

加起來得9就是9的倍數

至於3？因為9是3的倍數，

設有之前有n個9

再加一個3，加起來就是3

再加一個6，加起來就是6

（當然加6後不一定是6的倍數）

依此類推，n進位的某數x

它各個數各位的和t，t如果是n-1的倍數

那麼原數就是n-1的倍數

類比9和3，如果n-1不是質數

那麼任意n-1的因數m都滿足

t如果是m的倍數，那麼x就是m的倍數

例如5進位數233

各位加起來等於13（5進位）

分別轉化為10進位，68，8

8可以被4整除，所以68可以被4整除得17

也就是233（5進位）可以被4整除

當然也可以被因數2整除，能看出來

看起來似乎不具有代表性呢，來個勁爆的

13進位數233,233,233

a表示10，b表示11，c表示12，13就進位

各位加起來等於1b（13進位）

轉換成10進位，1,835,022,660，24

1,835,022,660除12得152,918,555

大概就是這樣把（手動滑稽）

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設數字有n位數

n＝1 顯然成立

假設n＝k時成立

n=k+1時 可以把k位和k+1位的數字看成2位數進行除以3取余的操作 這樣數字就退化到k位 這個數字與原來的數字是否被3整除結果是相同的

由於我們進行的操作 不會改變所有位之合可以被3整除這個特性 所以數字退化到k位 根據歸納成立

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因為9，99，999……都是3的倍數

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