特徵值和特徵向量[MIT線代第二十一課]

0、前言

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該筆記是連載筆記，本文由坤博所寫，希望對大家有幫助。

一、知識概要

本節課討論了特徵值與特徵向量。主要目的是掌握求特徵值的技巧並對一些特 別的情況進行說明。本節內容比較基礎。

二．特徵值與特徵向量

2.1 釋義

首先給出特徵值與特徵向量的定義：對矩陣 A，若有

則 x 為矩陣 A 的特徵向量，λ為矩陣的特徵值。那麼如何理解特徵值與特徵向量 所代表的意義呢？

我們來看 Ax 這個式子，對於不同的向量 x，Ax 這個式子像是一個函數，輸 入一個向量 x，則輸出一個向量 Ax。而在我們輸入的眾多向量 x 生成的 Ax 中， 會有這樣的向量 Ax，它們平行於 x，我們即用上面這個式子： 來表示 這個關係。

特別注意下特徵值為 0 的情況。此時會有：AX = 0。我們可以發現 A 如果是 不可逆矩陣，則正好滿足此性質。

1. 如果對任意平面上的 來說，投影矩陣根本不會影響它的大小所以就有： 恆成立。此時得到一個 為1
2. 如果對任意平面上的 來說，投影矩陣作用在此向量之後始終會有： 恆成立。如此即得到第二個 為0

2.2 求解方法

接下來我們給出特徵值，特徵向量的一般求解方法。我們對方程進行一些處理：

如上即為求解特徵值的步驟。n 階一共應該有 n 個特徵值。

求解特徵向量只需要取求解出的一個特徵值λ，此時 A-λI 是一個不可逆矩 陣，利用(A-λI)X = 0 求解零空間中的向量即為矩陣的特徵向量。

2.3 特殊情況說明

我們通過兩個例題說明下這部分求解中可能遇到的特殊情況。

啟示：我們發現 Q 是反對稱矩陣（ ），而我們之前求的都是對稱矩陣的 特徵值，也就是說，對稱矩陣的特徵值為實數，而反對稱矩陣的特徵值為虛數， 這是兩個極端。

思路:

這是個上三角矩陣，求解 A-λI 行列式時會發現， ，這時的 特徵向量只會有一個，也就是說，三角矩陣的結構的特殊性導致了其行列式為對 角線上元素，而如果對角線上兩個元素相等，那麼就會造成特徵向量短缺情況。

三、學習感悟

本節內容不是很困難，重點在於特徵值與特徵向量的求解，其實只要使用 A- λx 求解就沒錯，特別注意一下虛數情況就好了。重點是理解特徵值如何求解以 及特徵值到底代表著什麼。