狹義相對性原理（三）

目錄：

量子場論（0）

量子場論（1）

量子場論（2）

量子場論（3）

本次內容：作為例子，這裡討論在狹義相對性原理的要求下，多粒子散射問題需要滿足怎樣的條件。

（需要說明的一點是，我們這裡僅考慮有限自由度的多粒子散射問題，在無窮自由度情況下，這裡處理散射的方法是完全失效的。）

一，散射實驗：

1，基本物理圖像：

在開始相對具體的計算之前，我們先給出散射問題的物理圖像：

一開始我們製備一堆無相互作用的粒子，經過長時間的運動它們在某個有限的區域內發生相互作用，在相互作用完成後又經過很長時間的運動，最後我們得到另一堆無相互作用的粒子。且在整個散射過程中，系統的四動量守恆。

2，兩種情況：

為了方便後面的討論，我們考慮下面兩種情況：

（1）整個過程中不發生相互作用的情況，粒子會一直保持自由粒子態。我們記無相互作用的哈密頓量為 ；時間平移算符為 ；能量的本徵態為 。

（2）而存在相互作用時，哈密頓量為 ；時間平移算符為 ；能量的本徵態為 （這裡的指標 是對多個指標的縮寫）。當然，這裡我們真正需要處理的散射問題是這種發生相互作用的情況。

這裡需要注意的是，這裡兩種情況具有相同的能譜，自由粒子的哈密頓量中我們考慮的是實驗中實際測量的物理質量而不是 中的裸質量。

3，兩種情況的聯繫：

敘述完基本的物理圖像和必要的概念之後，我們就要尋找一個觀者來觀測實驗了，我們先選取一個最方便的觀者 。 相對於實驗室靜止，且 時發生相互作用。

那麼，對於觀者 來說，考慮時間平移 ，粒子會離發生相互作用的區域越來越遠，此時有相互作用的情況（2）就會逐漸趨近於無相互作用的情況（1）。

也就是說 時，有： 。情況（2）中粒子的疊加態趨近於情況（1）中自由粒子的疊加態。（當然這裡也可以用酉運算元的譜定理，把時間平移運算元移到積分號裡面去，變成一個相因子）。

4，波運算元：

根據上面關係，兩邊同時用 作用，可以定義連接入態（出態）與自由粒子態的運算元為： ，稱之為波運算元。波運算元 反應了有相互作用情況（2）與無相互作用情況（1）在 時量子態的聯繫。

入態： ；出態： 。

5，S矩陣：

更進一步的，在散射問題中，與實驗觀測結果緊密相關的物理量是S矩陣：

，式中 稱為散射運算元。通過計算S矩陣，我們可以得到關於散射實驗的結果，處理散射問題的關鍵就在於S矩陣的計算上。

由於這裡的態都是散射態，它們不在Hilbert space中，很顯然S矩陣的表達式中一定會包含 函數。對於情況（1）中無相互作用時： 。而情況（2）中有相互作用時的反應速率則正比於： 。

二，散射運算元與S矩陣：

正如上面所討論的，散射問題的關鍵在於S矩陣的計算，它直接聯繫著散射實驗的結果。同時，如果我們要求散射實驗滿足狹義相對性原理（或者說洛倫茲對稱性），那麼等價的也就是要求散射運算元 或者說S矩陣 滿足洛倫茲不變性。

1，散射運算元的計算：

這裡我們利用相互作用繪景，進行微擾展開，來計算散射運算元。我們假設情況（2）中有相互作用時的哈密頓量可以寫為： 。

而散射運算元的定義為： ，

其中： ，我們對這個表達式兩邊關於 求導，可得在相互作用繪景下 滿足的方程： ，其中 為相互作用繪景下相互作用項的表達式。

容易驗證， 滿足積分方程： ，通過迭代並取 可得： ，我們稱之為Dyson級數。我們可以由此出發來計算散射運算元。

2，洛倫茲協變性：

上面我們人為的選定了一個相對方便的觀者來研究散射問題，現在我們要求散射實驗滿足狹義相對性原理，即不同慣性觀者觀測同一散射實驗時觀測到的物理規律相同。這要求散射運算元或者S矩陣要滿足洛倫茲協變性。

（1）首先對於 的在多粒子Hilbert space上的酉表示 ，散射運算元 運算元滿足洛倫茲協變性的要求是： ，等價的散射算符 需要和相應酉運算元群的生成元（Lie代數表示）對易： 。

（2）在上面的計算中， ，散射算符可以寫成Dyson級數的形式。如果相互作用項的形式為： 。那麼，Dyson級數可以寫為： 。此時， 如果要求散射算符 滿足洛倫茲協變性，這等價於要求等式右邊的Dyson級數滿足洛倫茲協變性，即 與編時乘積都要滿足洛倫茲協變性。

對於 這要求： ；

而對於編時乘積 ，只有類空間隔不滿足洛倫茲協變性，故對於類空間隔：

， 。這實際上對應於光速不變原理（因果性）的要求，可見在相對論量子力學的散射問題中，光速不變原理和狹義相對性原理的要求是相容的。

（3）由於 ，我們也可在依照四維動量本徵態的變換律，將洛倫茲協變性寫成分量形式，由此即可得到S矩陣滿足狹義相對性原理的要求。

狹義相對性原理的部分就是這些了。其物理上的內容可以總結為：

1，狹義相對性原理要求不同慣性系下物理定律具有相同的形式，將其應用與量子理論中時，這等價於單粒子Hilbert space上存在 的不可約酉表示。

2， 的迷向子群可以給出其誘導表示，不同的誘導表示對應不同種類的單粒子Hilbert space。

3，對於滿足狹義相對性原理的散射問題，散射運算元 需滿足洛倫茲協變性。

至此，關於相對論量子力學的部分也就結束了，下一次我們開始討論無窮多自由度的系統，即量子場論。一個壞消息是，對於無窮自由度的系統，這裡處理散射的方法是完全失效的，除此之外，我們在量子力學中一些習以為常的東西在自由度 時也會失效。好消息是，這些失效背後隱藏的是量子場論（對於量子力學而言）中新的物理。

下次我們會給多粒子態一個更準確的表述，介紹Fock space與產生湮滅算符等相關概念。最後計算並分析無窮自由度帶來的問題。