微分方程的形式該如何理解？

01-27

我學習的是信息與計算科學專業，就是那個應用數學的馬甲。
我們在學習數學分析（華東師範大學版）時，學習了不定積分和定積分，這兩者都使用了∫f(x)dx這樣的形式。我翻了一些書（陶哲軒的實分析、《什麼是數學》）之後知道這些符號僅僅是萊布尼茨的表示法，各個部分並沒有什麼特別的意義。當時書上也並沒有多說。
但是後來在學習換元積分法和分部積分法時，對 dx 這一部分有各種不同的處理，比如∫f(x)b(x)dx=∫f(x)db(x)，等等。完全是把它當微分用了，問老師，老師也只是說你就怎樣怎樣理解就可以了。我那時候仔細看了看書，認為這是在證明了相關定理之後的一種為了便於應用的寫法。

後來學了大學物理，老師給我們展示了求一個微分方程的過程，就是一個很普通的微分方程，類似dy=f(x)dx，然後兩邊積分，得到∫dy=∫f(x)dx，接著得到y=f(x)。
當時我感到很震驚。因為我學過的積分，都是對 f(x)，也就是對函數積分，從來沒有對含有微分的項積分，更不用說直接對微分積分了。我當時查了一下資料，但是沒有找到答案，因為其他一些原因也沒有繼續下去。但是知道了我要找的問題是屬於微分方程的範疇。
現在我們開始學常微分方程這門課程，書上同樣沒有解釋這些東西，直接就開始介紹分離變數法等等。讓我更奇怪的是，沒有對微分的定義和運算性質做出說明，就直接開始拿來應用，這在我們以往的數學教學裡面是沒有過的。
雖然我現在能按照課本的方法來求解微分方程，也能做物理題，但是我現在感覺到自己腳底下是懸空著的，我知道這是因為我孤陋寡聞，沒能找到合適的資料，所以希望有人能回答這個問題，或者告訴我哪裡有這種積分的介紹。

謝謝大家！

謝邀。曾經也有這樣的問題困擾我。

積分這事，先是黎曼積分和Stieltjes積分（我寫對了嗎？），黎曼積分是Stieltjes積分的特殊情況，即∫f(x)dα(x)中α(x)=x的時候。另外，可以證明，當α黎曼可積，能把Stieltjes積分化為黎曼積分：∫fdα=∫f(x)α(x)dx

因此（也可能是因為大家不知道）這事大家就不太區分了，特別是普通物理書上，隨便亂整也沒人管。

進入勒貝格積分就又變了，∫fdμ，μ是測度。但是這三個的共同特點（我自己感覺的）是：首先由一個求和的極限定義，求和的形式都是

∑(*與函數值相關的某個東西*)·(*對集合的某種衡量*)

後一個寫在積分裡面就出現在d後面，dxdαdμ，但有啥具體含義咧，我覺著沒有。所以就乾脆不要管那是什麼了，直接看到積分回想其定義和個人的直觀感受，我個人認為這兩者是同等重要的。

微分形式的積分可能題主不會遇到了，我們這邊好象就沒人聽說過，上個電動力學也是隨意講，數學什麼都不管。個人覺得這個比較偏幾何，但基本上結合各方面（拓撲，Banach空間的微分學，微分流形，哦，還有我物理）學一點下來，即使不非常深入，也會對之前的一些基本概念產生很多不同的理解。慢慢學起來就會覺得數學各方面是有著緊密不可分的聯繫的，比如題主所提到的常微分方程，之前有看過一點線性方程積分因子的Frobenius條件，簡直是……

扯遠了。題主說這問題可以參考微分形式的積分，嗯，微分形式是名詞而不是形容詞。一個n次（階？）的微分形式是一個流形切空間上的n重交錯多重線性映射：(TxM)?→R，流形，嗯，就當成光滑的曲面吧，它局部看起來像是平面，切空間就想像成它某一點的切平面（是一個線性空間）。這個東西怎麼積分呢，可以非常直觀想像，局部由於象是平面，可以化為R?上的重積分。曲線積分和曲面積分算是特例。

當然我這麼一說不太可能說明白，更細緻的可以參見任一本微分流形的書，不願意太深入可以看看卓里奇教授的《數學分析》下冊12到15章，如果有一定困難可以先看看上冊多變數函數部分。

然後你就可以處理微分方程了，當然我只是稍微知道線性方程。比如Pdx+Qdy=0，可以看成是R2上的一個微分方程，也可以看作是R2上的一個微分形式確定的矢量場。我們已經知道（假設知道了）它是有積分因子的，即dF=0，F是一個0-形式，或者說數值函數，這樣就算解出來了。更一般的線性方程像這樣來看，還與李群有點關係，具體就不清楚了。

扯得太多了。Rudin的《數學分析原理》上面對這些不同的積分都有闡述，雖然看著不太習慣。要想對這些概念有點理解可以看看卓里奇，或者更簡單粗暴的方式就是看很多很多書，不管他說得有沒有道理一股腦拿來慢慢批判吸收。微分方程的定性理論也可以看看，對題主的問題也許有些啟發。

對這個問題的完整、嚴謹、現代的回答需要微分形式、外微分、斯托克斯定理的相關知識。題主的所謂「懸空」，整個數學界其實也懸了兩三百年。

"Analysis on Manifold" by Munkres一書中有完整敘述。

就說題主的那個問題，看成1乘dy，讓f(y)=1不就可以了嘛……

∫f(x)b(x)dx=∫f(x)db(x)，如果我這樣說u=b(x)替換x,作為新的微元du。

此時du=b(x)dx，將原式替換成∫f(x)b(x)/b(x)db(x) 則得等式

只提一個，數分和大物的積分中dx意義不同的問題。

我們需要談一下數學史。萊布尼茨構造微積分學說時，直接取自變數x的微元為dx，對應的因變數的微元也就是dy。萊布尼茨當時是為了解決曲邊圖形的面積問題，所以，給出的積分形式中，f(x)dx確實是相乘的意思。這時的微積分被稱作古典微積分。

但後來這樣草率地定義dx被發現了許多矛盾。於是出現了極限的概念。之後的數學家開始用極限重新定義微積分。

數分中的dx連同前面的積分號一起，是一個整體。只是為了沿用前人的符號而已。用極限觀點定義的新的微積分，被稱作極限微積分。

然而大物課本上所學的知識大多還是牛頓，萊布尼茨時期的東西。所以用他們的古典微積分來做題正合適，也就是，直接把dx理解成微元，去乘以fx，再做積分。

每個數學系的少年都會陷入這種困惑。

這個時候，你需要學習微分形式的積分，如果能順便學點測度論和Banach空間上的微分學就再好不過了。

普物所基於的微積分是高中數學那種定義吧，即極限求和。從這種角度，積分和求和本質一樣的吧。

教材中所說的f(x)對x積分和把f(x)dx積分，意思是一樣的吧，只不過後者不夠嚴謹？沒有強調極限求和的過程？

我看了即便題主的問題，實在無法理解題主所謂的對微分形式積分在高中數學框架裡面有什麼無法理解的地方。

其他答主所圍繞的點，是重要的問題。就好比說有f(x)dx，x可以寫成x(y)，那麼能否有f(x)dx=f(x(y))dx(y)=g(y)x(y)dy在兩邊加上積分號仍然相等呢？這才是需要證明的問題，也是很多答主們討論的點吧，感覺題目的描述是否沒有抓住問題的本質。。。。