Special Relativity Without Light 的思路是怎樣的?

01-27

《伯克利物理學教程·電磁學》P171有這樣一段話:

The central postulate of special relativity, is the equivalence of reference frames moving with constant velocity with respect to one another.
We would have special relativity even if electromagnetic waves could not exist.

幾個回答和評論中的文章其實已經講得比較清楚了. 應答主要求簡單整理一下思路:

設有兩個慣性系 $S$ 與 $S$ , $S$ 相對 $S$ 的速度為 $v$ , $t=0$ 時兩慣性系的原點重合. 兩慣性系的時空坐標變換關係為: $egin{cases}x=X(x,t,v)\ t=T(x,t,v)end{cases}$ .

時空的均勻性 (homogeneity) 要求這一變換是線性的. 因此 $egin{pmatrix}x\ tend{pmatrix}=egin{pmatrix}A_v B_v\ C_v D_vend{pmatrix}egin{pmatrix}x\ tend{pmatrix}$ . 由於 $x=0$ 時 $x=vt$ , 有 $B_v=-vA_v$ .
空間的各向同性 (isotropy) 要求這一變換在 $x o-x, x o-x$ 時不變. 此時 $v o-v$ . 因此 $egin{cases}A_{-v}=A_v\B_{-v}=-B_v\C_{-v}=-C_v\D_{-v}=D_vend{cases}$ .
相對論基本原理要求 $S$ 到 $S$ 的變換與 $S$ 到 $S$ 的變換形式相同. 對以上線性變換取逆, 有 $egin{cases}A_{-v}=dfrac{D_v}{A_vD_v-B_vC_v}\B_{-v}=dfrac{-B_v}{A_vD_v-B_vC_v}\C_{-v}=dfrac{-C_v}{A_vD_v-B_vC_v}\D_{-v}=dfrac{A_v}{A_vD_v-B_vC_v}end{cases}$ . 結合上式, 有 $D_v=A_v$ , $C_v=frac{A_v^2-1}{B_v}$ . 整理上述結果, 我們發現只要知道了 $A_v$ 的形式就完全確定了變換的形式 $egin{pmatrix}x\ tend{pmatrix}=egin{pmatrix}A_v -vA_v\ -frac{A_v^2-1}{vA_v} A_vend{pmatrix}egin{pmatrix}x\ tend{pmatrix}$ .
兩個變換相乘仍然是一個變換. 考慮另外一個慣性系 $S$ 相對 $S$ 的速度為 $u$ . 兩個矩陣相乘: $egin{pmatrix}x\ tend{pmatrix}=egin{pmatrix}A_u -uA_u\ -frac{A_u^2-1}{uA_u^2} A_uend{pmatrix}egin{pmatrix}A_v -vA_v\ -frac{A_v^2-1}{vA_v^2} A_vend{pmatrix}=A_uA_vegin{pmatrix}1+ufrac{A_v^2-1}{vA_v^2} -(u+v)\ -frac{A_v^2-1}{vA_v^2}-frac{A_u^2-1}{uA_u^2} 1+vfrac{A_u^2-1}{uA_u^2}end{pmatrix}egin{pmatrix}x\ tend{pmatrix}$ . 它也應該滿足3中各個矩陣元的關係, 因此有 $D_v=A_v o1+ufrac{A_v^2-1}{vA_v^2}=1+vfrac{A_u^2-1}{uA_u^2}$ . 由於 $u$ 和 $v$ 是任意的, 等式兩邊是常數. 記 $Kequiv frac{A_v^2-1}{v^2A_v^2}$ . 由於變換可以乘上任意一個常數, 為了消除這個任意性, 規定 $v=0$ 時 $A_v=1$ . 因此 $A_v=frac{1}{sqrt{1-Kv^2}}$ . 整理上述結果, 我們有 $egin{pmatrix}x\ tend{pmatrix}=frac{1}{sqrt{1-Kv^2}}egin{pmatrix}1 -v\ -Kv 1end{pmatrix}egin{pmatrix}x\ tend{pmatrix}$ . 容易看出 $Kgeq0$ 且 $K^{-1/2}$ 有速度量綱. $K>0$ 時為 Lorentz 變換, $K=0$ 時為 Galileo 變換.

寫完才發現已經有人已經給出了一樣的回答. 我這個回答就作為 @w明威的細節的補充好了.

愛因斯坦推導狹義相對論的時候有兩個假設：

1. 時空均勻，慣性系是等價的（與電磁波無關）

2. 光速不變

你問題的意思是不需要電磁波的實驗結論，也就是不需要假設2. 光速不變（或光速最大），僅靠1也能導出洛倫茲變換，進而導出狹義相對論。

大概推導是：

坐標系 $K=egin{pmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \ t end{pmatrix}$ 和 $K=egin{pmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \ t end{pmatrix}$ 在 $t=0$ 處完全重合， $K$ 在 $K$ 中的速度為 $v$ ，設變換為 $x_i=f_i(x_1,x_2,x_3,t) \ t=f_0(x_1,x_2,x_3,t)$

1.由時空均勻推導出，變換是線性的，再通過時間反演跟空間對稱可以推出

$egin{pmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \ t end{pmatrix}=egin{pmatrix} f(v^2) 0 0 -vf(v^2) \ 0 1 0 0 \ 0 0 1 0 \ -vh(v^2) 0 0 g(v^2) end{pmatrix} egin{pmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \ t end{pmatrix}$

2. 由變換的自洽，也就是 $K ightarrow K ightarrow K$ 要和原來的 $K$ 相等推出

$f=g$ 且 $f^2-v^2gh=1$

3. 再由 $K ightarrow K ightarrow KLeftrightarrow K ightarrow K$ 推出

$frac{h}{f}$ 是不依賴坐標系的常數。

解解方程就得到

$egin{pmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \ t end{pmatrix}=egin{pmatrix} frac{1}{sqrt{1-av^2}} 0 0 frac{-v}{sqrt{1-av^2}} \ 0 1 0 0 \ 0 0 1 0 \ frac{-av}{sqrt{1-av^2}} 0 0 frac{1}{sqrt{1-av^2}} end{pmatrix} egin{pmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \ t end{pmatrix}$

其實就是洛倫茲變換了。

實驗觀測可得出 $a=frac{1}{c^2}$

S(v)到S(v+v1)的變換與S(0)到S(v)的變換一樣這種假設不需要光波的存在。

於是這變換是線性的

《Relativity without light: a further suggestion 》：

http://image.sciencenet.cn/olddata/kexue.com.cn/upload/blog/file/2010/8/201085162128290613.pdf

有人這麼解釋的。

狹義相對論的兩條基本假設「相對性原理」，「光速不變原理」本來就不依賴電磁場理論，而是時空本身的性質。所以狹義相對論不是一個電磁場理論，而是一個全新的時空觀。

所以有人認為「光速不變原理」可以由「相對性原理」推導出來這種說法本來就是不對的，因為這種推導用到了電磁場理論，而狹義相對論是不依賴於電磁場理論的。

我們只能說麥克斯韋方程組和經典時空觀的矛盾啟發了愛因斯坦，但它並不是狹義相對論存在的必要條件。

landau第二卷開頭的那段話就是這樣的感覺。兩個非常自然的假設，所有慣性系平權，以及因果關係的傳播速度有上限。這樣再加上線性疊加原理在所有慣性系下都成立的假設就可以得到lorentz變換了，並且可以證明只有這個最大速度才是不隨參考系改變的，而因為maxwell方程導出自由平面波的傳播速度是不隨參照系改變的，所以真空中光速就是前面所說的信息傳遞速度的唯一的極大值。即使maxwell方程不存在，從邏輯上而言只要這樣的最大傳播速度存在，還是會有其他方式能夠獲得以這個速度傳播的可以攜帶信息的物理對象。從這樣的角度來說，maxwell方程「僅僅是恰到好處」罷了。

梁燦彬的《微廣》第一卷在講Killing場那一節的時候從數學形式上給出了一維運動的Lorentz變換，雖然好像他並不承認這算一種導出Lorentz變換的方法。。。