Wilson Loop in AdS Space

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Wilson Loop是規範理論中的非局域的規範不變數，在QCD中，因為其漸近自由（beta函數為負，低能區強耦合無法微擾處理）的性質，所以低能區的一些性質比如夸克禁閉等並不能被很好的研究。Wilson在上世紀70年代提出計算Wilson Loop可以幫助獲得相互作用的勢能，因此有希望證明QCD在低能下存在禁閉。

Wilson Loop的定義如下： $W＝Tr [P exp oint dx^{mu} A_{mu}(x)]$ , Tr代表求跡，P代表path order。它是規範不變的。根據定義,Wilson Loop可以認為是加入試探電荷後的配分函數， $W[C]=frac{Z[J]}{Z[0]}$ ，所以 $W[C]=langle Omega | e^{iHT} | Omega rangle=e^{iET}$ ,（取T很大，忽略激發態貢獻）

上式也即Wilson認為的證明禁閉的方式，計算配分函數得到Wilson loop，取對數得到勢能，如果存在禁閉，那麼禁閉勢的性質， $V sim R$ , 則 $ln W sim R T sim Area$ ,而沒有禁閉的時候V是庫倫勢 $V sim frac{1}{R}$ , 沒有Area－Law。

這一Wilson Loop的計算通常是很困難的，而全息對偶提供了一個非常便捷的計算方法，本文介紹這一方法。

我們的研究對象仍為N＝4的SYM理論，這是Wilson－Loop中除了規範場還有標量場的存在

$W[C]=Tr[P exp[ioint_{C} ds(A_{mu} dot{x^{mu}}+nphi sqrt{dot{x}^{2}})$ , 這一Wilson－Loop仍然是邊界上的配分函數，根據GKPW對偶，場論中的配分函數可以對應於bulk中的配分函數，那麼bulk中的配分函數是什麼呢？在邊界上，夸克走了一個閉合的C軌跡，而夸克可以看成是開弦的端點，因此當端點在邊界（D膜）上運動了一個閉合軌跡時，開弦在bulk中也划出了一個世界面。所以可以自然的做如下對應

$W[C]=Z_{string}$ , 在大N，大 $lambda$ 下，可以忽略弦的loop和漲落，弦的配分函數簡化為

$Z_{string}=e^{iS}$ , S即在殼的Nambu－Goto作用量，對Nambu－Goto作用量不熟悉的可以看本專欄之前關於玻色弦的文章。同時 $W[C]=e^{-iET}$ , 我們可以通過對Nambu－Goto作用量的計算提取出勢能的信息，而計算Nambu－Goto作用量是非常容易的。