第二十四課：自反廣義逆矩陣

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在學線性代數的時候，我們知道，對於滿秩方陣而言， $(A^{-1})^{-1}=A$ ，可以說矩陣A是具有自反性的，但是對於廣義逆矩陣而言，這個一般不成立。也就是說矩陣A的廣義逆矩陣的廣義逆矩陣，不一定是矩陣A。

廣義逆矩陣中具有自反性的矩陣可以稱得上是一類特殊的廣義逆矩陣了，今天我們就來介紹具有自反性的廣義逆矩陣。

這裡自反廣義逆記作 $A_r^{-}$ ,關於自反廣義逆有如下的關係：

可以看出，自反廣義逆矩陣比單邊逆矩陣更具有一般性。（單邊逆矩陣有時候不一定存在）

需要注意的是，雖然0矩陣的自反廣義逆矩陣是0矩陣，但是自反廣義逆矩陣並不唯一。事實上，對於A

而言，我們構造這樣的矩陣G

這樣的矩陣G，就是A的自反廣義逆。在這個構造中我們也可以看出，這樣的矩陣G並不唯一。

於是，我們可以定義自反廣義逆的集合

對於同一個矩陣的自反廣義逆之間的關係，我們有如下定理：

這個考試不要求，也不要求證明

下面介紹定理3：

這個定理我們可以類比的進行記憶，在第二十三棵：廣義逆矩陣部分我們有推論1。此處，對於自反廣義逆而言是取等的關係。

證明如下：

證明過程也可以結合上一課的推論1，一起體會。

由定理2可知， $A^{-}=A^{-}AX$ 是A的一個自反廣義逆矩陣。

定理2給出了自反廣義逆矩陣的一種具體的構造方法，定理3則給出了在廣義逆矩陣中，區分自反廣義逆的一種有效方法。

那就是當廣義逆矩陣的秩等於矩陣A的秩的時候是自反廣義逆。當廣義逆的秩大於矩陣A的秩的時候是廣義逆矩陣而不是自反廣義逆矩陣。

注1：在上一課的廣義逆矩陣中已經有過解釋

注2：