第二十三課：廣義逆矩陣

當我在寫到這一課的時候是十分感慨的，當初我在學矩陣求逆的時候是怎麼也不會想到有一天我還會學廣義逆矩陣。我在小學的時候老師教我們兩點之間直線最短，當初我天真的以為這就是整個世界。隨著年齡的增大，我學了越來越多的東西。居然發現，還有非歐幾何這種東西，兩點之間，不一定直線段最短。

「我好像一個在海邊玩耍的孩子，不時為拾到比通常更光滑的石子或更美麗的貝殼而歡欣鼓舞，而展現在我面前的是完全未探明的真理之海。」我想很多人小的時候都有想成為科學家的想法，對一切都充滿好奇，想要窮盡世間的奧秘。可是當我們長大之後，經歷了種種，可能忘掉了這些東西，或是面對浩瀚的知識海洋而心生恐懼。

喬布斯在斯坦福大學畢業典禮上曾說過一句話：Keep foolish，Keep hungry. 與大家共勉。

前面我們只是討論了行（列）滿秩矩陣的逆矩陣問題，但是對於更一般的矩陣要求他的逆矩陣應該怎麼求呢？下面我們就來正式介紹廣義逆矩陣。

下面我們討論廣義逆矩陣的一些性質：

該定理也可以看成是廣義逆的概念，即滿足AGA=A的是廣義逆。

下面給出證明：

需要注意的是，同線性代數中的矩陣的逆不同的是，這裡求的廣義逆一般不唯一。既然不唯一，有許多解的話，我們就考慮是否有一個通解可以將所有的廣義逆全部表示呢？的確有，下面我們就介紹定理2，該定理表示的就是全部的廣義逆：

該定理的證明比較複雜，考試也不考，我就不仔細研究了，略過。

最後，我們介紹廣義逆矩陣的一些性質：

我們給出證明：

（1）在線性代數中，我們有 ，這實際上是廣義逆中的一個推廣。

（2）第二條性質說的是一個矩陣乘以他的廣義矩陣是冪等矩陣，且他們矩陣的秩相等，證明如下：

（3）該性質可以表達這樣的意思：0矩陣的廣義逆矩陣可以是任何矩陣（包括0矩陣）。

時， =0, 0G0=0，那麼G可以是任意矩陣。

具體證明如下：

（4）

（5）

我先來解釋關於值域部分所說的顯然（ ）：

關於值域部分，我在正交投影中已經做過敘述。下面說一下包含關係：

關於核的部分解釋如下：

（6）

推薦閱讀：