第十八課：Gerschgorin（蓋爾）圓盤定理

今天來講如何畫圓。

完了，突然想哭，老師上課教我們畫圓我卻各種聽不懂，我這智商恐怕是沒救了吧！

我們這一課就來講講如何畫蓋爾圓。

上一課中，用矩陣的元素對矩陣A的特徵值做了大致估計並給出了一些重要不等式，本課將用矩陣的元素來確定A的特徵值分布區域，即討論特徵值的一些重要包含性質。

下面，具體介紹一下：

對於行蓋爾圓而言，我們可以稱之為去心絕對行和（去掉對角線 的值），此時 就是圓心。

該定理說的是矩陣A的任意特徵值都在行蓋爾圓之中。

下面，我們給出具體證明：

這裡畫橫線的 指的是最大的第k行對應的特徵值。

這樣，就是以對角線元素為圓心，特徵值 為半徑畫蓋爾圓。

我們舉一個例子：

類似的，我們有推論1：

即特徵值既在行蓋爾圓上，又在列蓋爾圓上。

我們先來解釋一下什麼是連通：只要有交點，就算是連通的。在例1中， 重疊在一起，他們的並集是一個連通域。孤立的一個蓋爾圓也是一個連通部分。圖中 的並集， ， 各是一個連通部分。

這樣，也算是連通。（相切也算是連通）

定理1隻說明了矩陣A的特徵值均在其全部蓋爾圓的並集中，並沒有哪個連通部分有幾個特徵值，因此，我們還需要下面的定理：

下面，我們給出具體證明：

這裡的 是變化的，可以看成是函數，這樣的矩陣可以稱之為函數矩陣。

當 時 ，當 時 ，所以可以看成從 的一種變化關係，於是我們有：

如圖所示，我們假設有一個特徵值 不屬於任何圓盤。然而，由定理1可知，特徵值只能在圓盤之中，發生了矛盾。故假設不成立。特徵值只能在圓盤之中。同樣的道理，圓盤外面的特徵值要是想進去也是不可能的，會與定理1矛盾。

也許，這就是錢鍾書在《圍城》中所描述的人生吧！

如果蓋爾圓不相交的話，那麼蓋爾圓中有其對應的特徵值。如果相交的話就不好說了，我們下面舉一個例子：

我們繼續介紹推論：

這個定理之所以成立是因為A有n個互不相同的特徵值（單根），所以一定可以相似對角化。

如果A不是實數而是複數的話，圓盤裡會有兩個特徵值，矛盾。所以A的特徵值全為實數。

有如下定理：

特徵值既位於行蓋爾圓上，又位於列蓋爾圓上。因此可以說是位於他們的交上。

下面介紹一個特徵值估計的例子：

我們對它可以進行一些改進：

這個圖片貼的有點沒頭沒尾，是因為有些推論略去不講了。下面的改進方法要用到，所以這裡先貼一下：

下面介紹定理4，不過之前先介紹一下幾個概念：

我之前有具體寫過對角佔優矩陣，但是忘了具體在哪寫了。等我回頭找到之後再在這裡補上鏈接吧。

下面我們說一說這個證明：

（1）：若A是嚴格對角佔優矩陣，那麼A的特徵值不為0，矩陣A可逆。（矩陣可逆說明行列式的值不為0,又行列式的值等於矩陣所有特徵值之積,所以矩陣可逆,其特徵值一定不為零）

（2）嚴格對角佔優，半徑不能過圓心，只能在右半平面。故 （實數）>0

（3）Hermite矩陣的所有特徵值都是實數，由（2）可知該結論成立。

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