第十五課：矩陣的最大值秩分解

這一課內容比較少，可以稍微happy一下了。

因為這裡所講的最大秩分解不僅在這裡會用到，以後我們講到廣義逆矩陣的時候還會用到，所以還是要打起精神來好好學。話說我已經學了一下午的矩陣了，還要一直學矩陣到睡覺，這種感覺真是好美妙哦！

不扯了，進入本課的內容：前面幾課我們討論矩陣分解主要是討論n階方陣的分解，或是非方陣的三角分解。本課我們介紹 矩陣A分解成兩個與A同秩的因子的乘積的具體分解方法，進而討論不同分解之間的關係。矩陣的這種分解在廣義逆矩陣中起著十分重要的作用。下面我們來具體介紹一下這種分解：

這裡的B可以看成是一種換行變換，D可以看成是一種換列變換。下面我們具體證明一下這個定理：

這個證明思路在第十一課：矩陣的三角分解：任意矩陣的三角分解中出現過。由第十一課的定理3我們可以知道這裡的 是列滿秩矩陣，

由這個證明我們可以看出，對於A矩陣而言，矩陣 實際上是矩陣A的一個極大無關組。矩陣的極大無關組不具有唯一性，比如（1，0）（0,1）（1,1）中的任意兩個都可以組成一個極大無關組。（雖然極大無關組不唯一，但是他們的的向量個數是相同的）

由極大無關組的不唯一性，所以矩陣的最大秩分解也不具有唯一性。下面我們給出一種求解B、D的方法：

這裡需要強調的是必須進行的是行初等變換。因為行初等變換不改變列向量組的線性相關性。這裡的 是由列向量組所組成的極大無關組，所以只能進行行初等變換才能不改變列的無關性。

同樣的道理，如果對一個矩陣進行列初等變換，那麼對矩陣的行向量組的無關性不發生改變。

我們解釋一下矩陣D的構成原理：

我們下面來舉一個例子：

這裡我們需要特別說明一下：最大秩分解的分解方法是不唯一的，此題剛好是第一列和第二列，但通常情況下並不一定是這樣的。

在解一中：這裡之所以B矩陣是A的第一列和第二列的元素是因為：

我們下面介紹一下定理2，老師說學完第六章之後回過頭來再講定理2，所以我這裡先只是放個圖，回頭我再過來補充：