哥德爾、埃舍爾、巴赫

01-27

顯然，本期節目想要介紹的就是《哥德爾、埃舍爾、巴赫》這部有趣的書，這也是給《混亂博物館》許多往期內容所做的一次詮釋。

正如標題所說，這本書交織地介紹了數理邏輯學家哥德爾、版畫家埃舍爾和巴洛克作曲家巴赫，探索了三個偉人在不同領域中作品的共同理念。就像本書作者侯世達所說：「我認識到，哥德爾、埃舍爾和巴赫只是用不同的方式來表達一樣相同的本質。」

已經讀過這本書的人無疑非常幸運，他們會在本期內容里重見舊相識；而沒有讀過這本書的人大概會覺得「不知所謂」——那麼我建議你花時間閱讀這本榮獲了普利策獎的名著，你一定會在一個新的世界裡有所收穫。

https://www.zhihu.com/video/904804334053777408

以下為視頻文字稿：

近半年來，我們曾介紹過埃舍爾的作品、巴赫的音樂和數學上的算術公理，並在這些內容里留下了許多伏筆，至今仍未解開——有聰明的觀眾已經猜到，這些往期內容與1979年的名著《哥德爾、埃舍爾、巴赫——永恆的金帶》關係密切，而那揭開一切的缺失拼圖，就是哥德爾不完備定理的精妙證明。
這本書的作者是道格拉斯·霍夫斯塔德（Douglas Richard Hofstadter，1945-），書中以平實而生動的語言講述了哥德爾、埃舍爾、巴赫在各自領域的傑出貢獻，用精巧的構思將數理邏輯中的自指，繪畫中的雙關，音樂中的賦格，交錯關聯起來。用作者的話說，他認識到這三個人在用各自的方式探討同一種本質，而這本書就是重現這種本質——正如中文譯名的副標題那樣，「集異璧之大成」，作品涉及了計算機科學、人工智慧、語言學、遺傳學等諸多領域，但最核心的內容，仍然是探討哥德爾不完備定理的證明。
哥德爾不完備定理的提出源於一個野心勃勃的「希爾伯特計劃」，由德國數學家大衛·希爾伯特在1920年提出，試圖一攬子解決數學當時遇到的所有問題。簡單地說，許多古老的數學難題，比如平行公理，到19世紀已經得到新的詮釋，開拓了新的領域。

在此過程中，人們不得不承認，數學的公理是否「不證自明」並不重要，重要的是構建明確的規則步步推導。所以大衛·希爾伯特的計劃，就是將一切數學命題都形式化成符號的運算，進而將這種運算機械化，那麼世界上就再也沒有艱難複雜的數學證明，而只需將數學命題寫成符號，再轉動機器得出「可證」或「不可證」的結論就行了。但前提是，我們要證明這樣一個系統不會自相矛盾，一會兒說一個命題可證，一會兒又說它不可證。
然而到了1931年，年僅25歲的哥德爾用一篇論文就證明了希爾伯特想要構造的體系並不相容，把希爾伯特的通天藍圖擊得粉碎。這份證明的精髓思想，就是構造了一個邏輯上的自我指涉。在這裡，我們先用一個著名的「對角論證法」幫你小窺其中的趣味。
試問，從0到1的所有小數和全體自然數相比，哪個更多？我們不妨先假設一樣多，這就意味著我們能用自然數給這些小數逐次編號：
r1 = 0 . 5 1 0 5 1 1 0 ...
r2 = 0 . 4 1 3 2 0 4 3 ...

r3 = 0 . 8 2 4 5 0 2 6 ...
r4 = 0 . 2 3 3 0 1 2 6 ...
r5 = 0 . 4 1 0 7 2 4 6 ...
r6 = 0 . 9 9 3 7 8 3 8 ...
r7 = 0 . 0 1 0 5 1 3 5 ...

那麼，取第一個小數的第一位小數，第二個小數的第二位小數，第n個小數的第n位小數……這條對角線上的所有數字，構成一個新的小數。
r n = 0 . 5 1 4 0 2 3 5...
再給這個小數加上0.1 1 1 1 1...
得到最後的小數：

r = 0 . 6 2 5 1 3 4 6...
那麼顯然的，這個最後的小數第一位和第一個小數的第一位不一樣，第二位和第二個小數的第二位不一樣，第n位和第n個小數的第n位不一樣——也就是它和任意有編號的小數都不一樣，意味著我們找到了一個超出自然數編號能力的小數，所以可以得出，0到1之間的小數比全體自然數還多。
我們將在未來看到哥德爾如何巧妙地給全體數學命題編了號，找到了其中的矛盾。而這個矛盾也絕不僅僅是數理邏輯的局部矛盾，而是深埋於整個計算機時代的深刻矛盾——我們將在了解這份證明之後，探討它與人工智慧的深刻關係。