怎樣畫樹葉

01-27

在這個生機盎然的星球上，植物的葉片大概是最多見的事物了，然而你有沒有留意過，在每一片樹葉上，都藏著什麼樣的圖案？

越是司空見慣的事物，我們越容易覺得理所當然，越容易忘了思考其中深刻的規律。

數學就是這些規律中最普遍的那一類，當我們發現自己用理性思考得到的結論竟然與大自然的秩序如此一致，就又一次清晰地感受到：人類的意識本來就是客觀世界中不可分割的一部分。

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以下為視頻文字稿：

如果你以為上過小學美術課就會畫樹葉，那未免太天真了。
樹葉有各種各樣的形狀，圓形、條形、披針形、盾形、提琴形、箭頭形，等等樣式，邊緣還要區分全緣、鋸齒、微波、深裂，種種不同，再結合單葉、複葉以及各種葉序，非常複雜——但是這些醒目的特徵都留給觀眾自己觀察，本期內容只點醒一個最容易忽略的細節——葉脈，而且是葉脈最細微的部分。
根據葉脈的直徑和連接位置，我們可以區分出一級脈、二級脈、三級脈，直到那漸隱的末梢。對於最粗壯的前兩三級葉脈來說，看上去有些像分叉的樹枝。

但是繼續觀察下去，就會發現植物的葉脈呈現出了一種獨特的網狀結構——如果我們需要一個最精確的辭彙來描述這種結構，那就是「沃羅諾伊圖」。
沃羅諾伊圖由俄國數學家格奧爾吉·沃羅諾伊（Georgy Voronoy，1868-1908）發現於1908年，是一個空間分隔演算法，可以簡單地表述為：一塊薄餅上粘了許多糖豆，現在要把這個薄餅切成塊，使得每塊薄餅上都剛好有一個糖豆，而且在薄餅上任取一點，都剛好與距離它最近的糖豆切在了同一塊上——這個切塊的方法，就是沃羅諾伊圖。
具體的做法並不複雜：首先，我們需要把所有的糖豆連接起來，構成一張三角形網格，而且使每個三角形的外接圓內部都沒有糖豆。接下來給每個三角形的每條邊作垂直平分線，使其連接成網。擦掉三角形網格，沃羅諾伊圖就畫完了。如果你還不明白，只需要回想一個定理：垂直平分線上任意一點與兩個端點距離相等。
那麼植物那些細小的葉脈為什麼會形成沃洛諾伊圖？
細想之下，也不難理解：葉脈最終呈現出什麼圖案，取決於周圍組織的生長速度，而組織生長速度又取決於它與葉脈的距離。距離葉脈越遠的組織得到養分越晚，生長越慢，糖豆就代表了生長最慢的那塊組織——既然養分均勻地向著葉脈兩側滲透，那麼糖豆就會對稱地分布在每條葉脈兩側，葉脈也就成了相鄰糖豆連線的中垂線，必然構成沃洛諾伊圖。

當然，在這樣簡單的數理規律支配下，沃洛諾伊圖不止會出現在細小的葉脈上，任何生長速度與邊界有關的分割問題都可能呈現出這種圖案，這讓它成為自然界最常見的非隨機圖案。
昆蟲的翅脈中包裹著血淋巴腔和氣管，不但在發育中提供了組織生長所需的養分，羽化後還會大量充血，使翅膀舒展，與植物的葉脈同理，總會展現出清晰的沃洛諾伊圖。長頸鹿的花紋由黑色素細胞和周圍細胞拮抗形成，越靠近斑塊邊緣的黑色素細胞越受抑制，最終也會形成沃洛諾伊圖。甚至淤泥乾涸時，越靠近裂縫的土壤收縮越快，也會出現沃洛諾伊圖，即所謂龜裂。
同時，糖豆也可以撒得不那麼隨機，讓沃洛諾伊圖與其它分布結合起來，比如向日葵和菠蘿的花朵都按照斐波那契螺線排成花序，每個花朵發育成果實之後互相擠壓，緊貼處生長最慢，使得每個果實的剖面都是沃洛諾伊圖的一個格子。

特別的，蜂巢可以看作糖豆平均分布時的沃洛諾伊圖。更進一步，沃洛諾伊圖還可以推廣到三維空間中——肥皂泡的堆積就是如此，植物的薄壁組織也是如此——這給我們的工程設計帶來許多啟發，沃洛諾伊分割廣泛應用於當代建築設計，時常令人耳目一新。