17、經典不確定和量子不確定

「If quantum mechanics hasn』t profoundly shocked you, you haven』t understood it yet」

「如果你沒有被量子力學在最深處震撼到，那麼你還沒有理解它」

– 玻爾

我需要說明一點，到此為止前面所討論的一切，都是在所謂的「經典」力學框架下做出的。我們已經看到，經典力學的運動定律是完全決定論的，理論上，任何一個系統給定了初始狀態後，都會按照既定路線發展。但是即使是這樣，不論是從邏輯上還是物理上，我們都不可能獲得完全確定的物理狀態，因而到最後我們不得不放棄對系統做出長時間有效預測的可能性。既然我們根本不可能做出預測，那麼，那個確定的未來只能是虛幻的，無法實證的，它的存在與否，都對我們毫無意義了。

但是，經典物理中的這種不確定性，只是否定了世界的可預測性，而對確定性其實還是留有餘地的。假如我們跳出物理學，認為存在著一個不遵守物理定律的拉普拉斯之妖，它可以完全自由地獲得系統的狀態又不必對系統做出有干擾的觀察，那麼它還是可以預測未來的。當然，既然這個妖怪不必遵守物理定律，那麼這個討論就不再是科學討論了[1]：我們討論物理定律的不確定性，它的前提就是物理定律失效！這本身就是一個邏輯循環。

然而量子力學卻不一樣，它似乎認為，物理定律本身就只能是概率性的，自然界絕大多數情況下根本就不存在所謂的「確定狀態」！

那麼，什麼是量子力學呢？

量子力學研究的對象與經典物理學不同。經典物理研究的是我們身邊可以看到、可以摸到的宏觀物體的運動，而量子力學，研究的是那些我們看不到摸不著的微觀粒子諸如光子、原子、電子等。

在經典時代，人們的研究深度並沒有達到微觀尺度，所以人們並沒有意識到，微觀規律與宏觀規律之間會有著怎樣的巨大鴻溝。一直到19世紀末，也就是短短的100多年以前，人們對「是否存在分子」這個問題還在爭論。當時人們習慣於將物體看做是「質點」的集合，也就是把物體分解成無窮多個有質量的點來看待：每一個質點都有一定的質量，滿足牛頓定律，有自己的運動狀態。所有的宏觀物體，那些不能當做質點看待的「連續體」比如說機械部件、流體、彈性和塑性材料等等，可以看做無窮多的質點組成的集合，叫做「質點系」。每一部分質點的運動組合起來就形成了各種複雜的移動、轉動、振動、流動等運動形式。

質點是一種物理抽象，並不代表實際的物理實體。真正開始把微觀粒子當做實際存在的物理實體看待的，是150多年前的玻爾茲曼，他堅信分子的存在，並發展了統計力學，試圖在大量分子的個體運動中尋找整體運動規律。悲劇的是，他的思想受到了當時主流物理學界的反對，（最著名的是邏輯實證主義者馬赫）最終他在抑鬱中自殺。然而統計力學終於取得了輝煌的成就並成為主流物理學分支。在他死後數年之內，大多數物理學家已經開始接受分子的存在，並最終由愛因斯坦（又是他！）關於布朗運動的研究獲得了實證。

但是不論是質點，還是玻爾茲曼的分子，它們所滿足的仍然是經典的牛頓定律。在這裡，分子的運動和一個撞球運動毫無分別。

在20世紀初，當時主流觀點已經認為物理學的主要框架，包括牛頓力學（後面被進一步發展為理論力學）、電磁理論、統計力學等都已經完美建立起來了，物理學中只剩下應用和少數的錦上添花的理論。當時物理學的清空上只漂浮著兩朵小小的烏云：一個是以太，一個是黑體輻射。但是人們萬萬沒有想到，就是這兩朵烏雲，引發了兩個極具顛覆性的革命：相對論和量子力學。

黑體輻射問題，就是經典的統計力學計算結果與實際不相符的一個矛盾。人們當時沒有想到，這個看似微不足道的問題，導致了整個經典大廈的崩塌。從黑體輻射開始，經歷了一系列發現和演變，終於量子力學粉墨登場了。

量子力學對經典物理的衝擊是毀滅性的。在量子力學中人們發現，真實的分子、原子、電子等粒子的運動，與經典的質點和玻爾茲曼的分子大相徑庭。它非但不遵守經典物理定律，而且以經典眼光來看，是匪夷所思的。

從這裡開始，我們即將觸摸量子力學的核心，我要警告你，你以前對這個世界的經驗即將完全失效。準備好了嗎？放棄所有的常識、放棄所有的形象思維，我們要進入一個前所未有的荒誕世界了。你會發現，量子其實一點都不難，相反，它極其簡單 – 前提是你能夠接受它而不引起嚴重的頭暈。

量子力學裡面有種種極其怪異之處，其中之一就是不確定原理，我們就先從它說起。

不確定原理說的是，一個粒子的狀態是一個範圍，而不是確定的。粒子的動量[2]和位置所具有不確定性的乘積之積不得小於某一個量。具體而言，比如說，動量不確定的範圍σp與位置不確定的範圍σx之間，有如下關係：

其中，h是約化普朗克常數，用國際單位製表示，它的數值大約是10^-34。

這個不等式告訴我們，對於一個粒子，它的位置和動量都不能完全確定，它的位置不確定範圍和動量不確定範圍是一種此消彼長的關係：位置越確定，那麼動量就越不確定，而動量越確定，則位置就越不確定。因此我們對它的運動狀態不可能確知到任意精度，我們對位置了解越多，對動量（速度）的了解就越模糊，反之亦然。總之，我們對微觀粒子運動狀態的認知精細程度，被限制在了一個範圍之外。

你說不定已經開始犯迷糊了。這裡我們說的「不確定」到底是什麼意思？一個粒子難道沒有一個確定的位置嗎？它的運動難道沒有一個確定的速度嗎？這究竟是什麼意思呢？它指的是：

我們對系統的無知度的範圍？

我們對系統觀測精確度的範圍？

統計層面上的偏差範圍？

系統根本就沒有確定的動量和位置？

對此，歷史上先後出現過多種詮釋，最主要的不外乎兩種觀點：

第一種說法，「不確定」即「測不準」。也就是說，粒子本身是具有確定的位置和動量的，在某特定時刻，一個粒子總是會有一個確定的位置，有一個確定的速度的，但是我們不可能獲知這個確定的位置和動量。事實上，海森堡在最初發表的論文中，主要就是從前面我們提到的觀察者效應角度而言的，也就是，任何觀測過程都不可能對系統不造成干擾，因而，當我們對系統進行觀測的時候，總是摻雜了不可控的擾動，對於宏觀系統，我們的觀察可以做到對系統擾動極小，但是對於微觀系統，這種擾動的影響相對而言就不可忽略了：比如說我們用手指觸碰一粒塵埃。因而觀察者完成一次觀察後，得到的總是一個不準確的結果，因為「真實的」系統狀態已經被觀察行為破壞掉了。我們國內早期的物理課本和文獻，往往把不確定原理稱作「測不準原理」，就是因為這個原因。

第二種說法，「不確定」就是「不確定」，不是我們不知道，而是它本身就根本沒有確定的位置和動量。確定的位置和動量對微觀粒子而言毫無意義。這一點是早期量子力學中最令人迷惑的一點。當初海森堡本人發表了不確定關係的論文之後，玻爾本人明確當面指出，認為海森堡所說的「觀察者效應」是錯誤的，不確定原理應該有更加深刻的含義，這讓海森堡本人當時十分沮喪。確實，如何理解一個粒子不具備確定的位置和動量？難道它不應該存在於某一個地方，不應該有一個速度嗎？這不但是一個令人困惑的事情，簡直是不可理喻的。當我們談論一個粒子的時候，我們會理所當然地問：「它在哪兒？」在經典物理學中，這不但是個有效的問題，而且是一個非常重要的問題，但是在量子力學裡，除非你觀察它，否則你根本不被允許問這個問題，如果非要回答，「它不在哪兒」也許是最好的答案。

第一種說法相對而言比較容易理解，它符合我們的常識；而第二種說法讓人完全無法接受：你如何理解這樣一個粒子，它存在，但是卻不存在於某個特定位置？它在運動，但是它沒有一定的快慢？但是事實上，無數的觀測事實已經表明，第一種理解極可能是錯誤的，而第二種理解，已經被物理界絕大多數的科學家所認可。

我們再來說一個類比，經典的不確定性和量子的不確定性區別在哪裡。比如說我們要去買一本書，那麼一個粒子的狀態好比是這本書的價格。

第一種情況，我們去書店買書，那裡所有的書都有明確的價格，在我們還沒有去書店之前，我們對它的價格是不確定的，我們只能根據經驗大致猜測它到底多少錢。但是，這本書的價格是確定存在的。我們對價錢的不確定，僅僅是因為我們還不知道。

第二種情況，我們不去書店，而是去跳蚤市場。在市場上我們可以買到便宜的二手書。每一本書的價格都是我們與賣主討價還價之後確定的。我們事先根據行情可以大致猜測這本書會值多少錢，但是在我們還沒有買這本書之前，它的價格是不確定的，我們只是大概知道範圍，如果這時候你問價格是多少，我們只能說，「15~25塊錢之間」，但是在我們砍價結束準備付錢之前，這個價錢是不確切。我們對價格的不確定，並不僅僅是我們不知道，而是一個確切的價格它根本就不存在。只有當我們在付錢的時候，我們能確定它的價格是多少。

而量子力學，就像是跳蚤市場這種情況。一個粒子，我們在還沒有觀察它的時候，它沒有確定的位置、也沒有確定的動量，就好像跳蚤市場里我們沒有付錢的時候，它沒有一個確定的價格。只有當我們觀察的時候，它才會「獲得」一個狀態，就好像只有當我們付錢時，這本書才有一個價格一樣。但是，這裡更加複雜一點的是，粒子的狀態是包括很多個物理量的，即使是在觀察的時候，我們也不能同時觀察到幾個不同的確定物理量。比如說，當我們觀察一個粒子的位置時，我們可以獲得粒子的確定位置，但是作為代價，粒子的動量將變得完全不確定。反過來，如果我們觀察粒子的動量，我們獲得一個確定的粒子動量，但是相應地，粒子的位置一下變得彌散於整個宇宙了。

如果把這種不確定效應放大到宏觀世界，那麼就好玩兒了。想像一下這樣一段對話：

甲：「小明在哪兒？」

乙：「他在北京。」

甲：「在北京哪個地方？天安門？故宮？機場？火車站？還是其他地方？」

乙：「他在北京到處都是！」

甲：「@#￥%！……」

甲：「小明今天怎麼上學的？」

乙：「步行和乘汽車。」

甲：「到底是步行還是坐汽車？還是一段路步行，另一段路乘汽車？」

乙：「他全程既步行又乘汽車！」

甲：「@#￥%！……」

幸運的是，不確定原理對宏觀事物影響甚微，因為約化普朗克常數本身是一個很小的數值。比如說，對一個PM2.5級別的塵埃，在宏觀上，他感覺已經是非常小了，我們甚至看不到它，但是我們可以估算一下它的動量的數量級，大約應該是在10^-15這個級別上，因而，他位置不確定度大約是10^-19，與它本身的尺寸相比，不確定程度大約為0.00000000001%，基本上對確定性沒有什麼影響。但是，對於微觀粒子而言，情況就大不相同了。比如不確切地估算的話，如果這個塵埃的尺度縮減到最小的病毒的水準，（~10納米），那麼，同樣估算，它位置的不確定度大約有0.01——0.001%左右了；當它進一步縮減，到了電子的尺度，那麼它的不確定度就已經很大了，就像是一粒沙子，它的不確定程度卻比一個足球場還要大。

根據不確定關係微觀粒子的狀態只能用一個範圍表示，那麼用經典的相空間來看，它看起來就跟我前面講的經典粗粒非常相似。就像下圖表示的，一個微觀粒子的狀態在動量-位置的空間中，是一個由動量不確定範圍σp和位置不確定的範圍σx之劃定的一個粗粒，這個粗粒的相體積，按照不確定原理，必須大於h/2。

但是，量子力學中一個粒子的狀態，和經典粗粒有著截然不同的含義。我們還記得，相空間中的一個粗粒，代表著一個系統狀態的「概率雲」。粗粒中的每一個點都是系統的一種可能狀態。受我們的觀察精度所限，我們並不知道真實的系統狀態究竟是在哪一個點，但是我們知道，它粗粒中的某一個特定的點。由於我們的這種不確定性，我們在考慮系統的可能演化時，就必須考慮粗粒中的每一個點。而粗粒中的每一個點都對應一個狀態略微不同的系統，因此，我們在考慮經典粗粒的時候，實際上是在考慮無數個相似的系統複本（系綜）。但是，量子力學中的微觀粒子（量子）則不同，一個量子，它所表現出來的狀態，本身就是一團雲霧，這團雲霧本身就是系統的全部狀態，我們不能像經典粗粒那樣，去問「系統的狀態究竟是雲霧包裹中的哪一點」，因為不確定原理告訴我們，量子的狀態不是一個確定的點。

相應地，在量子力學中，粒子的運動狀態已經不能像經典粒子那樣，用位置和速度（動量）來定義了。它的運動狀態是一種所謂的量子態。這個量子態究竟是什麼呢？就像是前面提到的，它非常像經典粗粒所代表的「概率雲」，但是又有本質的不同。不像經典物理中，概率雲只是觀測上的不確定，而粒子的狀態是確定的。而量子態其實就是一團模糊的雲，而不是一個確定的點，這團雲叫做波函數。我們在後面還會持續涉及到。

由此可見，微觀不確定性與混沌理論中的不確定性是有著本質的不同的。混沌理論中的不確定性起源於確定性方程，它其實是一種數學機制，而不是物理效應，它與物理過程無關。一個混沌系統由它的動力學方程所決定的，它並不局限於物理。經濟學、社會學、化學、生物、生態學、通信、電網、等等幾乎每個領域都存在著這種不確定性。比如說一種非常典型的混沌系統就是股票市場。而量子力學中的不確定性卻是一種物理機制，而與數學無關。說到底，混沌理論講的是某一個完全確定的過程，由於數學上的特徵，表現出一種完全無法預測的行為；而量子不確定性卻是它「本身」的性質，「不確定」就是微觀粒子本身的性質。當然，後面我們可以看到，這只是一種主流的詮釋，其實並沒有獲得完全認同。

我在前面的章節中講到，對於一個經典的混沌系統，它有良好的不確定的土壤，但是卻沒有不確定的種子。但是，現在我們知道了，微觀粒子都是不確定的，那麼這就是一個非常好的種子了！自然界對微觀粒子的最高解析度已經被不確定原理所限定死了，甚至進一步，一個系統根本就不存在確定的狀態。那麼，自然而然地，我們所能辨認的理論最高解析度就是在普朗克尺度，雖然說這個解析度已經是極高極高的了，但是在混沌系統的指數放大作用面前，也會在短時間內崩潰掉。所以，不確定原理和混沌理論在一起，完美地顛覆了我們這個宇宙的註定的未來：關於拉普拉斯之妖的爭論已經可以落幕了！

這個觀點看上去很有道理，非常圓滿。但是，這個說法是錯誤的。這其實是一種對不確定原理的濫用。這涉及到經典與量子之間的邊界和過渡問題。

我們說，確定性混沌所研究的是經典的確定性物理定律。我們就不得不考慮一個這樣問題：在確定性混沌里，所有的粒子都滿足經典的決定論規律，但是，既然量子力學已經發現，微觀粒子是不滿足決定論定律的，那麼，這就意味著，確定性混沌理論的基礎就是錯誤的！是不是我們就可以說，整個確定性混沌理論都是錯的呢？我們所觀察到的，宏觀事物的確定性運動又是怎麼回事？

答案是：如上一章所言，微觀的隨機性和不確定性在大尺度上會相互抵消而抹平，因而宏觀物體的運動基本上還是符合經典物理學定律（牛頓三定律）的。事實上，宏觀物體的運動是大量微觀粒子運動的總和，這些微觀粒子的數目大的驚人。就像是無數次拋硬幣得到的結果，恰恰是有一半的情況出現正面，另一半出現反面一樣，當我們把大量微觀粒子的不確定運動組合起來，它們的整體運動的期望值（所有可能性的平均值）恰恰就是確定的牛頓定律。這在數學裡面，叫做「大數定律」：當一個隨機過程以極大的次數重複時，它實際發生的結果的平均值，就等於它的預期平均值（按照概率發生的平均值）。我們可以想像，在宏觀上，10^23個粒子的隨機行為綜合起來，實際上發生的，就是最大概率的那個行為（也就是所有粒子隨機運動的統計平均）。而這個行為，就是牛頓定律所描述的行為。理論上，存在著極小極小的概率，宏觀行為會偏離牛頓定律，但是這個概率太小了，以至於在整個宇宙的全部壽命中都不會出現。因而，對宏觀系統，我們可以放心地使用經典的牛頓定律，而完全忽略量子不確定性。甚至在稀薄氣體的環境下，分子的運動都可以忽略量子效應，看做宏觀質點來處理。

這就是我們明知量子層面上隨機性不可避免這個事實的同時，仍然會用宏觀的決定論方程來進行理論計算的意義。因此，對經典框架下的確定性混沌的討論是有必要而且非常有意義的。但是這個前提就是，我們忽略掉微觀不確定性，運用經典的決定論方程來描述物體的演化。當我們考慮微觀不確定性時，意味著我們已經不能用經典的確定性混沌理論來描述系統演化了，而必須取而代之用量子力學來描述。如果在使用經典定律時中間夾著不清楚的量子不確定性，就會使得邏輯變得混亂。把不確定原理硬套進經典框架下的混沌理論，肯定會出現錯誤。

這裡的關鍵問題在於，當我們引入量子力學來描述一個系統的時候，我們會發現，根本就不會發生對初始條件敏感的現象，也就是說，根本就沒有混沌現象出現了！這是因為，和牛頓定律的非線性方程相比，量子力學的基本方程（薛定諤方程）是線性的。而數學上可以證明，線性系統不存在混沌！

為什麼這樣呢？我們回想一下，而混沌的核心是什麼？是演化軌跡、是相空間結構的無限精細化。正是基於確定的位置和動量的定義，相空間的結構才能夠不斷地迭代，精細化，形成分形結構。某一個初始點出發的演化軌跡才能夠不斷地在相空間中穿梭，它最終能夠以無窮小的距離經過相空間中的每一個相點（龐加萊初態復現），但是永遠不會重複自己已經走過的路徑。這是混沌的基本特徵：無限精細化。而不確定原理卻不允許一個無限精細的狀態出現，系統的演化在經典相空間中，就是存在一定「寬度」的「軌跡帶」。那麼系統在演化的過程中，很快就會與自己前面所經歷過的「軌跡帶」重疊。重疊就意味著系統返回到初始狀態，它就進入到一種有規律的周期運動或擬周期運動的狀態。

好了，我們看到，不確定原理的引入，事實上，使得混沌系統的混沌特性受到嚴重抑制。這些早已經經過了大量實驗驗證了。在某些量子-經典邊界的系統中，人們發現，系統一開始表現出明顯的混沌特徵，但是隨著時間的推進，當經過一定時間以後，系統的演化會慢慢變為周期運動，而一開始展現出來的混沌特徵消失了！這與我們前面所說的觀點恰恰相反。

所以，我們看到，當我們選擇用量子力學來描述系統，它充滿不確定性，但是卻失去了不確定性成長的土壤 – 混沌；反之，如果我們用混沌描述系統，就必然要放棄量子力學，忽略掉所有的不確定性種子。混沌系統有著不確定性生根發芽的良好土壤，但是缺乏一個不確定性的種子，而量子，到處都是不確定性的種子，它們卻不能快速成長。

這再一次讓人迷惑了：既然量子力學描述的系統在宏觀上就表現為牛頓定律，那麼，在微觀向宏觀過渡的過程中，整個行為模式的變化應該是自然而然、水到渠成的。為何微觀中不存在的混沌，在大量微觀粒子的總和中，就會突然出現了呢？

從根本上說，微觀的量子力學是線性的，那麼我們整個宏觀動力學從根本上也應該是線性的。線性系統不會因為系統尺度擴張而自發出現非線性現象。而線性系統是不會發生混沌的，那麼，我們在宏觀系統中所觀察到的混沌，「蝴蝶效應」難道都是一種幻覺嗎？

這就是我前面說的，量子力學最核心的難題之一：量子-經典過渡問題。對量子-經典過渡的研究集中了幾乎所有對量子力學的尖銳爭議，遠遠不止於我們所說的決定論問題，後面你還會看到更加奇葩的悖論出現。

但是在現在，我們還是先把話題集中在量子混沌上面。現在關於量子混沌的研究，有一點是有共識的，就是量子混沌（quantum chaos）是個誤解，它是不存在的。而量子混沌論（quantum chaology）才是一個存在的問題。請原諒我語言的匱乏，我實在是難以用確切的語言把上述兩個術語簡單地說清楚。簡單說，就是量子系統中不可能存在混沌，但是在經典系統中卻到處都有混沌的特性，宏觀的混沌與微觀的線性演化（幺正演化）之間，存在著一條巨大的鴻溝。在微觀向宏觀過渡的過程中，這條鴻溝怎樣才能填平？

總而言之，物理學似乎在跟我們躲避著什麼，當我們認為世界的一切都各有宿命的時候，混沌就出現了，把未來的一切掩藏在霧裡；而反過來，當我們認為世界本來就不可捉摸的時候，混沌的濃霧卻突然明朗起來，讓我們對未來的走向重獲視野。

量子不確定性和確定性混沌像是兩條絕不交叉的河流，然而它們並存在我們的世界中。量子混沌這個看起來很偏僻的學科正在努力尋找它們的交匯點。

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專欄：魔鬼眼中的自然界

[1] 這個拉普拉斯之妖我們可以給它一個名字，叫做「上帝」。

[2] 前面提到，我們對「速度」和「動量」不加以區分，但是，在量子力學中，我想還是分開來說比較好。在經典力學裡面，動量就是速度和質量的乘積，但是在量子力學中，已經沒有「速度」 這個概念了。動量是一個描述粒子的基本概念。

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