【流體力學中的佯謬】- 力學與Mathematica 02

佯謬，顧名思義，假的錯誤，指命題看上去是錯誤的，但實際上是正確的，這或許需要一定的前提條件。自然科學中，很多佯謬的產生源於理論的不完善，導致理論結果與實驗結果嚴重不符，接下來要介紹的流體力學中的兩個佯謬便是如此。

物理中的佯謬與數學中的悖論略有差別，讀者可自行參閱相關資料。通常，數學中的悖論表述簡單易懂，而物理中的很多佯謬儘管表述直觀，但推理細節卻略為繁雜，本帖使用 Mathematica表述細節，讓各位讀者能夠知其然知其所以然。

1.達朗貝爾佯謬

達朗貝爾佯謬表述如下：小球在大範圍不可壓縮、無粘性流體中作勻速運動時，它所受到的合外力為零。下面我們來推導這個結論。

以無限長圓柱為研究研究對象，那麼這個問題可以轉化為二維問題，以圓柱為參考系，這就是一個來流問題，設流體來流速度為U，圓柱半徑為R，在理想流體假設下，不可壓縮無旋流的控制方程與邊界條件如下圖所示，其中 φ 表示勢函數。

流體速度與壓強表示如下，現在需要在極坐標下求解這個微分方程。

有了勢函數，我們來計算速度場，圓柱表面壓力場以及圓柱所受合力。

上面結果中，速度場、壓力場與教材給出結果一致，且圓柱最終所受合外力確實是0。我們可以藉助圖像直觀地觀察一下壓力分布圖。

自然，我們還想說點什麼。達朗貝爾佯謬揭示了理想流體假設的局限性，其與事實嚴重不符，因為真實流體是存在粘性且不可忽略的，儘管它在數學推理上好比母豬戴胸罩 - 一套又一套的，但達朗貝爾佯謬直接讓它陷入了絕境。

那為什麼迄今為止，流體力學教材還在大講理想流體運動呢？一個原因是其方法的普遍性，踏著理想流體的肩膀，我們能很快進入粘性流體力學領域，見識大名鼎鼎的納維-斯托克斯方程。另一原因歸功於一位劃時代的人物 - 普朗特，他提出了邊界層理論，指出在物體表面附近，流體粘性效應顯著，而在遠離物體的流場區域，可近似看作理想流體。這樣一來，既使流體力學獲得了更廣泛的應用，同時也拯救了理想流體力學。邊界層理論後來在數學上發展成了漸近匹配法，感興趣的讀者可以參閱相關資料。

二、Huh-Scriven佯謬

Huh-Scriven佯謬表述如下：即使是古希臘大力神赫拉克勒斯，也無法將一塊木塊沉入水底。之所以有這樣一個結論，源於下面這個問題。

如上圖所示，有A,B兩種流體，他們的界面在 φ = θ 處，固壁以勻速 U 向右運動。將這個問題看作一塊平板斜插入水中就很直觀了。這種流動稱為斯托克斯流動，引入流函數 ψ，則控制方程為:

固壁無穿透條件（2），邊界條件有8個，恰好能解這個方程組，分別為

固壁無滑移條件（2），

界面無穿透條件（2），

界面無滑移條件（1），

界面切應力連續（1）。

要注意的是，我們首先猜測解的形式為ψ = rf(φ),代入方程後可得到 f(φ)的通解形式。下面直接從這裡開始往後求解。

上面給出的是 A 流體的速度場，形式很複雜。但可以肯定的是，我們得到了這個問題在數學上的自洽解。既然解析解如此複雜，那我們給定特殊參數，先繪製流線圖看看。

f(φ) 及其導數與 r 無關，且始終有界，說明切應力在原點出發散，積分後合力無窮大。回到 Huh-Scriven 佯謬，大力神確實無法將一塊木塊沉入水底。

為什麼會出現這種現象呢？假設所致。我們這裡使用了四個理想假設：

1. 不可壓縮牛頓流體；

2. 光滑剛性固體表面；

3. 不可穿透流體界面；

4. 無滑移邊界條件。

放鬆上面任何一個條件，都可以消除移動接觸線處的應力奇異性。

1971年，當時還是學生的 Huh 將這個問題報告給他的導師 Scriven 時，並未認識到問題的重要性，而 Scriven 立刻就認識到了該問題的重要性並告訴了同行。當時由於科研條件落後，Huh 計算這個問題都是依靠手算，從他的論文可以看出，Huh 作了很多變數代換，最終給出了解析解，包括當時給出的流場圖，也是很粗糙，可作對比如下：

1971年並不遙遠，時至今日，Huh-Scriven 佯謬已經獲得了眾多解答。如今，這類問題統稱為移動接觸線問題，由於該問題的廣泛性，複雜性以及實用背景，吸引了越來越多的研究人員進入該領域，不少中國內地學者在這方面做出了十分出色的研究成果。

本帖使用了Mathematica 求解了達朗貝爾佯謬與 Huh-Scriven 佯謬，極大地節省了勞力，輕鬆獲得了問題的解析解。代碼很簡單，僅僅是根據邊界條件求解微分方程（有些地方需要作些特殊處理）。我們可以看到，Mathematica 可以在科研中發揮巨大作用。代碼可能不夠簡潔優雅，歡迎各位讀者批評指正。

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