似是而非的答案：概率論悖論 | 張天蓉專欄（二）

導語：

如今，「概率」一詞在我們的生活中隨處可見，被人們使用得越來越廣泛和頻繁。這是一個多變的世界，一切都在變化，由變數構成了我們的世界，其中包括決定性變數。例如，新聞中提到的「北京時間2016年11月3日20時43分，長征五號在海南文昌成功發射」，此處的時間、地點都是固定的決定性變數。我們的生活中還有許多隨機變數，比如明天霾污染的程度、某公司的股票值等等，都是不確定的隨機變數。

隨機變數一般用概率來描述，生活中處處是隨機變數，因而處處有概率。氣象預報員會告訴你今天早上8點鐘的「降水概率」是90%；股市的信息可能是一種股票3個月之後翻倍的概率是67%；你的朋友會告訴你，你所買彩票的中頭獎的概率只有一億分之一！概率可以被粗糙地定義為事件發生的頻率，即發生次數與總次數的比值。更準確地說，是總次數趨於無限時，這個比值趨近的極限。

今天，我們就來聊聊概率中的隨機變數以及其中的概率論悖論。

撰文 | 張天蓉 （美國德州大學奧斯汀分校理論物理博士）

責編 | 呂浩然

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• 概率論專欄：

1. 上帝教人擲骰子——「神童」帕斯卡與概率論

雖然概率的定義不難懂，似乎人人都能理解，但你可能不知道，概率計算的結果經常違背我們的直覺。概率論中有許多難以解釋、似是而非的悖論，從中人們得到的結論是：不能完全相信直覺！

人類的大腦有它的誤區和盲點，就像開汽車的駕駛員視覺中有「盲點」一樣，需要幾面反光鏡來幫助克服。我們的思維過程中也有盲點，需要計算和思考來幫助澄清。概率論是一個經常出現與直覺相悖的奇怪結論的領域，連數學家也是稍有不慎便會錯得一塌糊塗。現在，我們就來看看經典概率中的幾個著名悖論和謬誤。

基本比率謬誤（Base Rate Fallacy）

先看一個生活中的例子。

王宏去醫院作驗血實驗，檢查他患上了X疾病（患病比率為千分之一）的可能性，其結果為陽性。網上的資料顯示，實驗總是有誤差的，這種實驗有「百分之一的假陽性率和百分之一的假陰性率」。這句話的意思是說，在得病的人中做實驗，有1%的人是假陽性（即實際是陰性，卻得到陽性的結果），99％的人是真陽性。而在未得病的人中做實驗，有1%的人是假陰性，99％的人是真陰性。於是，王宏根據這種解釋，估計他感染X疾病的可能性（即概率）為99%。王宏想，既然只有百分之一的假陽性率，那麼，百分之九十九都是真陽性，那我感染X病的概率便應該是99%。

可是，醫生卻告訴他，他被感染的概率只有0.09左右。這是怎麼回事呢？王宏的誤區在哪裡？

醫生說：「99％是測試的準確性，不是你得病的概率。你忘了一件事：這種X疾病的患病比率並不大，每千人中只有一個人患X病。」

醫生的計算方法是這樣的：因為測試的誤報率是1%，1000個人將有10個被診斷為假陽性，而根據X病在人口中的比率（1/1000=0.1%），真陽性只有1個。所以，大約11個測試為陽性的人中只有一個是真陽性（患病）的，因此，王宏被感染的幾率是大約1/11，即0.09（9%）。

實際上，王宏犯了「基本比率謬誤」的錯誤，即忽略了「X病患者在人口中的基本比例為千分之一」這個事實。

談到基本比率謬誤，應先從概率論中著名的貝葉斯定理[1]說起。托馬斯·貝葉斯（Thomas Bayes ，1701-1761）是英國統計學家，貝葉斯定理是他對概率論和統計學作出的最大貢獻，是當今人工智慧中常用的機器學習之基礎框架，它的思想之深刻遠出一般人的認知，也許貝葉斯自己生前對此也認識不足。值得一提的是，如此重要的成果卻並未在他生前發表，而是在他死後的1763年才由他的朋友發表。本篇將對貝葉斯定理稍作介紹，我們在本系列的後幾篇，將討論貝葉斯學派以及貝葉斯理論在人工智慧中的應用。

粗略地說，貝葉斯定理涉及到兩個隨機變數A和B的相互影響，專業注釋為：利用B帶來的新信息，應如何修改B不存在時A的「先驗概率」P(A)，從而得到B存在時的「條件概率」P(A|B)。或者類似地，也可以將A、B反過來敘述，即如何從B的「先驗概率」P(B)，得到B的「條件概率」P(B|A)。正反兩種敘述方式分別對應於下圖中的實線和虛線。

通過前述王宏的經歷我們就能很好的理解這個公式：隨機變數A表示「王宏感染X病」；隨機變數B表示「王宏的檢查結果」。先驗概率P(A)指的是王宏沒有檢查結果時得X病的概率（即X病在公眾的基本概率0.1%），而條件概率（或後驗概率）P(A|B)指的是王宏「檢查結果為陽性」的條件下得X病的概率（9%）。也就是說，王宏的檢查結果將先驗概率P(A)（ 0.1%）修正成為9%。

貝葉斯定理是十八世紀的產物，卻在二十世紀七十年代遇到了挑戰，該挑戰來自於卡尼曼和特維爾斯基提出的「基礎概率謬誤」（Base Rate Fallacy）。丹尼爾·卡尼曼（Daniel Kahneman，1934－）是以色列裔美國心理學家，2002年諾貝爾經濟學獎得主。基礎概率謬誤並不是否定貝葉斯定理，而是探討一個使人困惑的問題：為什麼人的直覺經常與貝葉斯公式計算的結果相悖？如同剛才的例子所示，人們在使用直覺的時候經常會忽略基礎概率。卡尼曼等在他的文章 《思考，快與慢》 （<Thinking, Fast and Slow>）中舉了一個計程車的例子來啟發人們思考這個影響人們「決策」的原因：

某城市有兩種顏色的計程車：藍和綠（比率為15:85）。一輛計程車夜間肇事後逃逸，一位目擊者認定肇事的計程車是藍色的。然而，他「目擊的可信度」如何呢？公安人員經過在相同環境下對該目擊者進行「藍綠」測試得出結論：正確識別率為80%，20%的情況不正確。也許有讀者立刻就得出了結論：肇事車輛是藍色的概率應該是80%。如果你作此回答，你便是犯了與前文提到的王宏同樣的錯誤，忽略了先驗概率，沒有考慮在這個城市中「藍綠」車的基本比例。

那麼，肇事車輛是藍色的（條件）概率應為多少？貝葉斯公式能給出正確的答案。首先我們必須考慮藍綠計程車的基本比例（15: 85）。也就是說，在沒有目擊證人的情況下，肇事車輛是藍色的概率只有15%，即「A=藍車肇事」的先驗概率P(A)=15%。現在，一位目擊者的出現改變了事件A出現的概率。目擊者看到車是「藍」色的。不過，他的目擊能力也要打折扣，只有80%的準確率，即也是一個隨機事件（記為B）。

我們的目的是要得出在有目擊證人「看到藍車」的條件下肇事車輛「真正是藍色」的概率，即條件概率P(A|B)。後者應該大於先驗概率的15%，因為目擊者看到「藍車」。如何修正先驗概率？需要計算P(B|A)和P(B)。

因為A=車為藍色、B=目擊藍色，所以P(B|A)是在「車為藍色」的條件下「目擊藍色」的概率，即P(B|A) ＝80％。最後還要算總概率P(B)，它的計算麻煩一點。P(B)指的是「目擊證人看到一輛車為藍色的概率」，等於兩種情況的概率相加：一種是車為藍，辨認也正確；另一種是車為綠，錯看成藍。所以：

P(B) = 15%×80% + 85%×20% = 29%

從貝葉斯公式：

可以算出在有目擊證人情況下肇事車輛是藍色的幾率=41%，同時也可求得肇事車輛是綠車的概率為59%。被修正後的「肇事車輛為藍色」的條件概率41%大於先驗概率15%很多，但是仍然小於肇事車為綠的概率0.59。

幾何概型和貝特朗悖論[2]

拋硬幣、擲骰子之類遊戲中涉及的概率，是離散的，拋丟結果的數目有限（硬幣僅有兩種結果，骰子為6種）。如果硬幣或骰子是對稱的，每個基本結果發生的概率相等。這種隨機事件被稱為古典概型。數學家們將古典概型推廣到某些幾何問題中，使得隨機變數的結果變成了連續的、結果數目無限多的概型，這種隨機事件被稱之為「幾何概型」。古典概型向幾何概型的推廣，類似於有限多個整數向「實數域」的推廣。了解幾何概型很重要，因為與之相關的「測度」 概念（長度、面積等），是現代概率論的基礎。

布豐投針問題，是第一個被研究的幾何概型。

十八世紀的法國，有一個著名的博物學家：喬治·布豐伯爵（George Buffon，1707-1788）。他研究過不同地區相似環境中的各種生物族群，也研究過人和猿的相似之處，以及兩者來自同一個祖先的可能性，他的作品對現代生態學影響深遠，他的思想對達爾文創建進化論影響很大。

難得的是，布豐同時也是一位數學家，是最早將微積分引入概率論的人之一。他提出的布豐投針問題（圖1）是這樣問的：

用一根長度為L的針，隨機地投向相隔為D的平行線（L < D），針壓到線的概率是多少？

布豐投針問題中，求的也是概率，但這時投擲的不是硬幣或骰子，而是一根針。硬幣投下去只有「正反」兩種基本結果，每種概率1/2。骰子有6種結果，每一個面出現的概率為1/6。而布豐投針卻不同，按照圖1a所示的數學模型，投針投下之後的狀態可以用兩個隨機變數來描述，針的中點的位置x，以及針與水平方向所成的角度θ。x在-D/2到D/2之間變化，θ在0到2π間變化。因為x和θ的變化是連續的，所以其結果有無限多。古典概率中的求和在幾何概率中用積分代替，使用積分的方法不難求出布豐探針壓線的幾率為2L/(Dπ)。

因為布豐投針中的概率是對於x和θ的2微積分，所以概率的計算可以簡化為如圖1b所示的幾何圖形的面積計算，即所求概率等於圖1b中陰影面積與矩形面積之比。

布豐投針的結果提供了一個用概率實驗來確定圓周率π的方法（蒙特·卡羅法）。因為π=2L/(DP)，當針投擲的次數足夠大，得到的概率P足夠精確時，便可以用以上公式計算π。這種方法的確有些出乎意料之外，用一根針丟來丟去也能丟出一個數學常數來！

從上面的介紹可知，幾何概型將古典概型中的離散隨機變數擴展到了連續隨機變數，求和變成積分，變數的樣本空間也從離散和有限擴展到了無窮。幾何概型和古典概型都使用「等概率假設」。然而，只要涉及到無窮大，便經常會產生一些怪異的結果。布豐投針問題中條件清楚，因此並沒有引起什麼悖論。而著名的幾何概型悖論——法國學者貝特朗（Joseph Bertrand，1822 –1900）於1889年提出的貝特朗悖論則不同。

貝特朗提出的問題是：在圓內任作一弦，求其長度超過圓內接正三角形邊長L的概率。奇怪之處在於，這個問題可以有三種不同的解答，結果完全不同但聽起來卻似乎都有道理。

求解貝特朗問題中的概率，不需要用微積分，只需要利用幾何圖形的對稱性便能得到答案。與計算布封投針問題中概率的情況類似（圖1b），一般來說，可以將幾何概率的計算變換成幾何圖形的計算，即計算弧長或線段的長度，或者計算面積、體積，從如下計算貝特朗問題的3種不同方法，讀者可以更為深入地理解這點。

方法1：首先假設弦的一端固定在圓上某一點（比如A），如圖2a，弦的另一端在圓周上移動。移動端點落在弧BC上的弦，長度均超過圓內接正三角形的邊長L，而其餘弦的長度都小於L。由於對稱性，BC弧長占整個圓周的1/3，所以可得弦長大於L的概率為BC弧長與圓周長之比，即P=1/3。

方法2：首先選擇圓的一個直徑，比如圖2b中的AD。過該直徑上的任何點作直徑的垂線，與圓相交形成弦。從圖2b中可以看出：當直徑上動點的位置在B和C之間時，所得弦的弦長大於正三角形的邊長L，動點位置在BC之外的弦長小於L。因為線段BC的長度是整個直徑的一半，所以由此可得弦長大於L的概率為P=1/2。

方法3：如圖2c所示，作一個半徑只有圓的半徑的二分之一的同心圓（稱為小圓），稱原來的圓為「大圓」。考慮大圓上任意弦的中點的位置可知：當中點位於小圓內部時，弦長符合大於L的要求。因為小圓的面積是大圓面積的1/4。所以，概率也為P=1/4。

以上3種方法聽起來都「振振有辭」，但得出的結果卻不盡相同，如何解釋呢？

按照傳統解釋，關鍵在於「隨機」選擇弦的方法。方法不同，「等概率假設」 的應用區間也不一樣。方法1假定端點在圓周上均勻分布（即等概率）；方法2假定弦的中點在直徑上均勻分布；方法3則假定弦的中點在圓內均勻分布。圖3給出了3種解法中弦的中點在圓內的分布情形。圖4則是用3種方法直接畫出弦，以比較弦在圓內的分布情形。也可以說，貝特朗悖論不是悖論，只是問題中沒有明確規定隨機選擇的方法，方法一旦選定，問題自然也就有了確定的答案。

?圖3：弦的「中點」在3種方法中的分布情況

概率論中的悖論還有很多，基於經驗的直覺判斷很多時候往往並不靠譜。下一篇將介紹的本福特定律，也是一條初看起來有些奇怪、不合直覺的定律，不過這條定律用處卻很大，甚至還能幫助偵破「財務造假」，且聽下回分解。

參考資料：

【1】維基百科-貝葉斯定理：https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%B4%9D%E5%8F%B6%E6%96%AF%E5%AE%9A%E7%90%86

【2】wikipidia：Bertrand_paradox_(probability)

Bertrand paradox (probability)

製版編輯：呂浩然 |

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