如何比較Besov 空間與Sobolev 空間？

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謝邀： Besov有homo和inhomo兩種，我們就談常說的後者。今天被點贊的時候，我發現自己沒給一個direct answer，那就給吧：

首先是包含關係：

然後是實插入的關係：

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你問得模糊無比，而且這個問題很大，我給你指一條路，你按著這個路走比較好：要學好這個兩個空間，你要會調和分析，特別是dyadic decomposition（二進位分解）。確切的說，你要懂什麼是Littlewood–Paley分解。我先說一個「簡單通俗」的版本的吧（來自Adams 的Sobolev space）。

首先呢，我們可以找到所謂的dyadic decomposition，也就是一列的對稱光滑函數 $psi_i$ 使得單位 $1$ 可以分解成它們的和，也就是 $1sim sum psi_i$ ，其中 $psi_i$ 的非零點只在某一個區域（半徑 $2^i$ 到 $2^{i+2}$ 的區域）。然後，我們可以設每個 $psi_i$ 的傅立葉變換的擬變換為 $Psi$ ，也就是 $mathcal{F}Psi_i=psi_i$ 。那麼我們有。然後我們對於 $uin L^p$ ,我們定義一個「運算元」 $T_ju=(2pi)^{-n/2}Psi_j*u$ .也就是說 $T_ju$ 的傅立葉變換剛好是 $psi_i$ 和 $hat{u}$ 的相乘，本質上來說就是把 $u$ 按照頻率分解成很多不同的分段。根據Littlewood–Paley理論，我們可以知道

有趣的事情就是，sobolev空間可以刻畫為：

說白了就是收到了Littlewood–Paley的啟發，我們在每個「頻率空間」中加上權重後就能引導出sobolev空間。那麼，今天的主題是Besov空間，這個空間是怎麼刻畫的呢？它等價於

怎麼樣？很像吧？這就是它們的聯繫。當然了，由於篇幅所限，我只能先講這麼多了。剩下的自己去學習Littlewood–Paley理論和相關的知識把。

我推薦你也通過stein或者別的書學一點harmonic analysis的Littlewood–Paley理論，然後看Adams 的Sobolev space。最近，我在看的Fourier analysis and nonlinear PDEs （Hajer Bahouri等著），這本書說得更加現代和實用一點。

PS: （偏微分方程要學好分析功底要深，線性泛函分析，非線性泛函分析，凸分析，調和分析等等都得會一些，當然了，我個人其實可能過頭了，我特別喜歡分析）