拓撲材料中的反常輸運（一）：從半經典運動說起

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受邀介紹一下拓撲材料中的輸運現象，這其中東西還是挺多的，所以打算分幾次介紹。因為拓撲材料中的大部分輸運現象可以用半經典圖像來理解，所以這一期主要介紹半經典運動的Berry曲率修正是怎麼來的。第二期將介紹磁震蕩、弱局域化/弱反局域化；第三期將介紹反常霍爾效應、手征磁效應、手性反常效應。

我先介紹普通的半經典運動方程和玻爾茲曼方程，然後對照著推廣到有Berry曲率的體系，這樣無論在物理圖像上還是在推導上都更容易理解一些。看懂這篇帖子只需要懂一點分析力學（正則方程）和一點量子力學就足夠了。普通金屬、半導體、拓撲材料等在經典極限下的輸運行為都可以用玻爾茲曼方程來描述。經典極限是指：1、外場的波長遠遠大於電子的費米波長；2，電子的平均自由程遠遠大於電子的費米波長；3，熱波長遠遠大於電子的費米波長，這在零溫下總能實現。這些條件讓我們可以把電子處理成經典粒子從而忽略所有的干涉效應，所以此時可以忽略位置與動量的對易子 $[x,p]$ 。從物理圖像上講，就是此時的位置x是個粗粒化的量，每個x都代表一塊宏觀無窮小微觀無窮大的體積。每個體積元里又有能帶結構，所以其中電子們可以用動量p來刻畫。因此，一個電子要同時用x，p來刻畫。

一、沒有Berry曲率的情況

既然現在電子是個經典粒子，它的運動就滿足哈密頓正則方程：

$dot{mathbf{p}}&=&-frac{partial H}{partialmathbf{x}}dot{mathbf{x}}&=&frac{partial H}{partialmathbf{p}}$

其中的x,p分別是正則坐標、正則動量，H是哈密頓函數。沒有Berry聯絡時，正則坐標x就是運動坐標r；沒有矢勢時，正則動量p就是運動動量k。我們接下來保持這個符號約定。現在讓粒子處在矢勢 $bold{A(x)}$ 、標勢 $V(bf x)$ 下，那麼正則動量為 $mathbf{p}=mathbf{k}+qmathbf{A}$ ，哈密頓函數為：

$H=epsilonleft(mathbf{p}-qmathbf{A}left(mathbf{x}right)right)+Vleft(mathbf{x}right)$

其中 $epsilon_{bf k}$ 是色散關係，帶回正則方程，經過兩三步推導，即得到：

$dot{mathbf{k}}&=& qmathbf{E}+qdot{mathbf{r}}timesmathbf{B}dot{mathbf{r}}&=&frac{partialepsilon_{mathbf{k}}}{partialmathbf{k}}$

這就是半經典運動方程。

其實通過一個單電子的行為，這個方程就可以解釋一些輸運現象了（為何金屬的電阻率都不同，求微觀解析？ - 樹袋熊的回答 - 知乎），這種圖像稱為Drude模型。而實際上有很多很多電子，每個電子都具有一個位置和動量，並且都按照上面的方程運動。可以認為r,k定義了一個相空間，相空間的每個點上可以佔據電子，也可以不佔據，所以應該用一個相空間的分部函數 $f(bold{r},bold{k},t)$ 來刻畫電子氣體的狀態。那麼電子氣體隨時間的演化，就可以用這個分布函數的演化來刻畫。先不考慮散射，假設在t-dt時刻在 $bold{k}-dot{bold{k}} dt$ , $bold{r}-dot{bold{r}} dt$ 處有一塊體積元 $d^D k d^D x$ （其中D表示維度），其上的佔據數為 $f(bold{r}-dot{bold{r}}dt,bold{k}-dot{bold{k}}dt,t-dt)$ ，到了t時刻，它將演化到k,r處的一塊體積元 $left(1+partial_{mathbf{k}}cdotdot{mathbf{k}}dtright)left(1+partial_{mathbf{r}}cdotdot{mathbf{r}}dtright)d^{D}kd^{D}r$ ，設其上的佔據數為 $f(bold{r},bold{k},t)$ 。如圖所示：

根據粒子數守恆，得到：

$fleft(mathbf{r}-dot{mathbf{r}}dt,mathbf{k}-dot{mathbf{k}}dt,t-dtright)=left(1+partial_{mathbf{k}}cdotdot{mathbf{k}}dtright)left(1+partial_{mathbf{r}}cdotdot{mathbf{r}}dtright)fleft(mathbf{r},mathbf{k},tright)$

注意到根據上面的運動方程有 $partial_{mathbf{k}}cdotdot{mathbf{k}}=0n$ 、 $partial_{mathbf{r}}cdotdot{mathbf{r}}=0$ ，所以得到微分方程：

$frac{partial}{partial t}f=-dot{mathbf{r}}cdotpartial_{mathbf{r}}f-dot{mathbf{k}}cdotpartial_{mathbf{k}}f$

考慮到散射項，就有：

$frac{partial}{partial t}f=-dot{mathbf{r}}cdotpartial_{mathbf{r}}f-dot{mathbf{k}}cdotpartial_{mathbf{k}}f+Sleft[fright]$

前面的推導中有一點很重要，就是 $partial_{mathbf{k}}cdotdot{mathbf{k}}=0$ ， $partial_{mathbf{r}}cdotdot{mathbf{r}}=0$ ，這意為著一塊相體積元的相體積隨著時間演化是不變的，這叫劉維爾定理。我們將看到，在有Berry曲率的系統里，半經典方程中的運動坐標與運動動量不滿足劉維爾定理。

一般的固體物理書上都會講Boltzmann方程，比如【1】中的詳細討論。對於Boltzmann方程更嚴格的導出就要藉助場論的語言，場論給出的動理學方程一般稱為Quantum Boltzmanns equation，在前面講的經典極限條件下做自由電子近似就蛻化成Boltzmanns equation。場論的推導非常普適，可以很自然地推廣到多帶情況和有相互作用的情況，這方面的綜述有【2】，書有【3】。

二、Berry曲率修正的運動方程

說Berry曲率，不了解的人可能覺得很抽象；其實說白了，就是一種多帶效應。拓撲材料之所有非平庸的性質，就是因為其佔據態的態空間不完備並且依賴於k，這就會誘導出Berry曲率、Chern數、拓撲量這些概念。一般來說，Berry曲率對運動方程的修正可以通過兩種方法推出來，一種是先推單粒子的運動方程，再根據單粒子的運動方程來寫玻爾茲曼方程，這方面的工作主要是牛謙做的【4】，在Weyl半金屬中的應用見【5-7】。另一種推導是直接從量子的動理學方程【2、3】出發，再把動理學方程投影到低能子空間得到Berry曲率修正，這種推導更嚴格、更系統，然而物理圖像不如第一種直接，這方面的推導可以參見【8、9】。下面介紹一個比較簡潔的推導，是我自己的理解。【4】的推導是通過構造波包來做的，非常繁瑣；這裡不構造波包，而是通過正則變數來推導，就簡潔一些。這就好像量子力學裡用算符推導一些關係總是比用波函數推導更簡潔是一樣的。

首先，我們寫下量子力學中的算符形式的哈密頓量：

$H_{munu}=H_{mu,nu}^{0}left(hat{mathbf{p}}-qmathbf{A}left(hat{mathbf{x}}right)right)+delta_{munu}Vleft(hat{mathbf{x}}right)$

其中的p和x都變成了算符，在動量表象下有 $hat{mathbf{x}}=ipartial_{mathbf{p}}$ 。注意到哈密頓量本身也變成了矩陣形式，矩陣指標其實就是固體能帶中的能帶自由度，不熟悉能帶理論的同學可以把這個矩陣指標想像成薛定諤方程的自旋指標。下面我們把這個自由度稱為內秉空間。如果沒有外場，那麼對角化 $H^0_{munu}(bf p)$ 就給出一組能帶：

$U_{mu,m}^{*}left(mathbf{p}right)H_{munu}^{0}left(mathbf{p}right)U_{nu,n}left(mathbf{p}right)=delta_{m,n}epsilon_{n}left(mathbf{p}right)$

其中對重複指標求和。我們設在外場下總的波函數寫成 $psi_mu = U_{mu,n} phi_n$ ，（我們把 $phi_n$ 稱為能帶表象下的波函數），所以我們有：

$hat{mathbf{x}}U_{mu,n}left(mathbf{p}right)phi_{n}left(mathbf{p}right)&=&left[ipartial_{mathbf{p}}U_{mu,n}left(mathbf{p}right)right]phi_{n}left(mathbf{p}right)+U_{mu,n}left(mathbf{p}right)ipartial_{mathbf{p}}phi_{n}left(mathbf{p}right)&=&U_{mu,n}left(mathbf{p}right)left[ipartial_{mathbf{p}}+U_{mu,n}^{*}ipartial_{mathbf{p}}U_{mu,m}left(mathbf{p}right)right]phi_{n}left(mathbf{p}right)$

也即，能帶表象下的位置算符為 $hat{mathbf{x}}to ipartial_{mathbf{p}}+mathbf{a}left(mathbf{p}right)$ ，其中a(p)是內秉空間的矩陣：

$mathbf{a}_{m,n}left(mathbf{p}right)=U_{mu,m}^{*}left(mathbf{p}right)ipartial_{mathbf{p}}U_{mu,n}left(mathbf{p}right)$

也即所謂的Berry聯絡。因此，在能帶表象里，原先的坐標算符變成了 $hat{mathbf{r}}= ipartial_{mathbf{p}}+mathbf{a}left(mathbf{p}right)$ ，因為不對易性 $[hat{r}_i,hat{r}_j]neq 0$ 它不再是正則坐標算符了，所以我們稱它為運動坐標算符。我們依然記正則坐標算符為 $hat{mathbf{x}} = ipartial_mathbf{x}$ 。這裡的r的不對易性與朗道能級中的位置不對易是類似的，我認為這也是產生反常霍爾效應的原因。

於是得到變換後的哈密頓量：

$H_{mn}^mathrm{eff}=delta_{mn}epsilon_nleft(hat{mathbf{p}}-qmathbf{A}left(hat{mathbf{x}}+mathbf{a}left(hat{mathbf{p}}right)right)right)+ndelta_{mn}Vleft(hat{mathbf{x}}+mathbf{a}left(hat{mathbf{p}}right)right)$

設能帶如下圖所示：

化學勢只跟某個能帶相交，那麼在低能物理中，我們只保留著一條能帶就可以了。若只保留m=n=3的哈密頓量，就得到低能模型。聯絡a還有到其它能帶的非對角元，仔細處理這些非對角元可以得到一個有效的Zeeman項，有興趣的同學可以自己推導或參見【4】及其引文。最後，在經典極限下忽略正則動量與正則坐標之間的對易子，我們得到經典極限下的哈密頓函數：

$H^{mathrm{eff}}&=&epsilon_Bleft(mathbf{p}-qmathbf{A}left(mathbf{x}+mathbf{a}left(mathbf{p}right)right)right)+Vleft(mathbf{x}+mathbf{a}left(mathbf{p}right)right) nepsilon_{B}&=&epsilonleft(mathbf{p}-qmathbf{A}left(mathbf{x}+mathbf{a}left(mathbf{p}right)right)right)+frac{1}{2}mathbf{B}cdotmathbf{L}left(mathbf{p}right)$

其中的 $frac{1}{2}mathbf{B}cdotmathbf{L}left(mathbf{p}right)$ 就是有效Zeeman項， $epsilon$ 是n=3的能帶能量，聯絡 $bf a(p)$ 也只取m=n=3的矩陣元。正則變數與運動變數間的關係為：

$mathbf{r}&=&mathbf{x}+mathbf{a}left(mathbf{p}right)mathbf{k}&=&mathbf{p}-qmathbf{A}left(mathbf{x}+mathbf{a}left(mathbf{p}right)right)$

應用正則方程，經過幾步推導，我們可以得到運動變數的運動方程：

$dot{mathbf{k}}&=&qmathbf{E}+qdot{mathbf{r}}timesmathbf{B}dot{mathbf{r}}&=&frac{partialepsilon_Bleft(bold{k}right)}{partialbold{k}}-dot{mathbf{k}}timesboldsymbol{Omega}$

其中的 $boldsymbol Omega$ 就是Berry曲率，它的定義為 $boldsymbol{mathbf{Omega}}left(mathbf{k}right)=partial_{mathbf{k}}timesmathbf{a}left(mathbf{k}right)$ 。

三、規範不變性

可見Berry曲率出現在方程里的位置與實空間的磁場B的位置相對應，所以有時候Berry曲率也被稱為動量空間中的磁場。上面的推導表明，Berry曲率的出現，是因為低能能帶在內秉空間的波函數是依賴k的，Berry曲率就是這種依賴的體現。所以， $hat{mathbf{x}}to ipartial_{mathbf{p}}+mathbf{a}left(mathbf{p}right)$ 有非常直觀的幾何意義：協變導數。也就是說，我們在每個k點上定義的內秉空間的基矢都是不同的，所以對k的導數不僅要作用在分量波函數上，還要作用在內秉基矢上。

u(k)有個U(1)規範對稱性，也即 $u_mu(bold{k}) to e^{ialpha(bold{k})}u_mu(bold{k})$ 不影響任何物理。但是這種變換是改變了內秉基矢的定義，所以協變導數是會變的，因此聯絡變為 $mathbf{a}(mathbf{k}) to nmathbf{a}(mathbf{k}) - partial_bold{k} alpha(bold{k})$ 。然而這不影響物理結果，因為Berry曲率是Berry聯絡的散度，梯度的散度為零，所以Berry曲率不變，半經典運動方程也不變。現在Berry曲率與磁場更加相像了。矢勢A對應著聯絡a，磁場B對應著曲率Omega。A與a都是協變導數的產物，都是依賴規範的；B與Omega都是有物理含義的量，是規範不變的。

四、Berry曲率修正的玻爾茲曼方程

我們把運動方程相互解耦合，得到脫耦的運動方程：

$left(1-qmathbf{B}cdotboldsymbol{Omega}right)dot{mathbf{r}}&=frac{partialepsilon_B}{partialmathbf{k}}-qmathbf{E}timesboldsymbol{Omega}-qleft(boldsymbol{Omega}cdotfrac{partialepsilon_B}{partialmathbf{k}}right)mathbf{B}left(1-qmathbf{B}cdotboldsymbol{Omega}right)dot{mathbf{k}}&=qmathbf{E}+qfrac{partialepsilon_B}{partialmathbf{k}}timesmathbf{B}-left(mathbf{B}cdotmathbf{E}right)boldsymbol{Omega}$

單看這兩個方程就可以理解很多反常輸運現象了，比如手性反常（如何解釋下外爾半金屬中的chiral anomaly？）。

下面我們建立它的玻爾茲曼方程，它有一個問題，r，k不再滿足劉維爾定理，因為：

$partial_{mathbf{r}}cdotdot{mathbf{r}}=-frac{qleft(dot{mathbf{r}}cdotnabla_{mathbf{r}}right)mathbf{B}cdotboldsymbol{mathbf{Omega}}}{1-qmathbf{B}cdotboldsymbol{mathbf{Omega}}}$ $partial_{mathbf{k}}cdotdot{mathbf{k}}=-frac{qleft(dot{mathbf{k}}cdotnabla_{mathbf{k}}right)mathbf{B}cdotboldsymbol{mathbf{Omega}}}{1-qmathbf{B}cdotboldsymbol{mathbf{Omega}}}$

假設相空間里有個小體積 $Delta V$ ，那麼，根據前面建立普通玻爾茲曼方程的物理圖像，我們得到：

$Delta Vleft(tright)=left(1+partial_{mathbf{r}}cdotdot{mathbf{r}}dt+partial_{mathbf{k}}cdotdot{mathbf{k}}dtright)Delta Vleft(t-dtright)$

於是很容易得到： $Delta Vleft(tright)proptoleft(1-qmathbf{B}cdotboldsymbol{mathbf{Omega}}right)^{-1}$ 。也就是說，一個相體積元在運動過程中其體積是發生變化的，並且其體積大小隻依賴磁場與Berry曲率的乘積。設r,k點上的佔據數為 $rho(mathbf{r},mathbf{k},t)$ ，我們把f定義為：

$fleft(mathbf{r},mathbf{k},tright)=left(1-qmathbf{B}cdotboldsymbol{mathbf{Omega}}right)^{-1}rholeft(mathbf{r},mathbf{k},tright)proptoDelta Vleft(tright)rholeft(mathbf{r},mathbf{k},tright)$

也即把體積因子的效果吸收在f裡面，那麼按照與之前完全一樣的推導方式，得到修正後的玻爾茲曼方程：

$frac{partial}{partial t}rho=-left[left(1-mathbf{B}cdotboldsymbol{Omega}right)dot{mathbf{r}}cdotpartial_{mathbf{r}}+left(1-mathbf{B}cdotboldsymbol{Omega}right)dot{mathbf{k}}cdotpartial_{mathbf{k}}right]f+Sleft[rhoright]$

最後，半經典的輸運現象就靠解這個玻爾茲曼方程，不同的Berry曲率的結構就會給出不同的物理。

【1】Solyom, J. Fundamentals of the Physics of Solids Vol. 2. 2, (Springer, 2009).

【2】Rammer, J. & Smith, H. Quantum field-theoretical methods in transport theory of metals. Rev. Mod. Phys.58, 323–359 (1986).

【3】Rammer, J. Quantum Field Theory of Non-equilibrium States. (Cambridge University Press, 2007).

【4】Xiao, D., Chang, M.-C. & Niu, Q. Berry phase effects on electronic properties. Rev. Mod. Phys.82, 1959–2007 (2010).

【5】Son, D. & Yamamoto, N. Berry Curvature, Triangle Anomalies, and the Chiral Magnetic Effect in Fermi Liquids. Phys. Rev. Lett.109, 181602 (2012).

【6】Son, D. T. & Spivak, B. Z. Chiral anomaly and classical negative magnetoresistance of Weyl metals. Phys. Rev. B88, 104412 (2013).

【7】Stephanov, M. A. & Yin, Y. Chiral Kinetic Theory. Phys. Rev. Lett.109, 162001 (2012).

【8】Shindou, R. & Balents, L. Gradient expansion approach to multiple-band Fermi liquids. Phys. Rev. B77, 035110 (2008).

【9】Wong, C. H. & Tserkovnyak, Y. Quantum kinetic equation in phase-space textured multiband systems. Phys. Rev. B84, 115209 (2011).