基的變換與相似矩陣

01-27

1）基的變換

一個線性空間 $V_n$ ，基為 ${vec{e}_1,vec{e}_2,...,vec{e}_n}$ ，那麼任一向量可表示為

$vec{v}=sum_i alpha_i vec{e}_i =nleft(nbegin{array}{cccc}nvec{e}_1&vec{e}_2&...&vec{e}_nnend{array}nright)nleft(nbegin{array}{c}nalpha_1nalpha_2n...nalpha_n nend{array}nright)$

如果我們將基變換為另一組基 ${ vec{e}_1 vec{e}_2 ,... ,vec{e}_n }$ ，則同一向量又可表示為

$vec{v}=sum_i alpha_i vec{e}_i =nleft(nbegin{array}{cccc}nvec{e}_1&vec{e}_2&...&vec{e}_nnend{array}nright)nleft(nbegin{array}{c}nalpha_1nalpha_2n...nalpha_n nend{array}nright)$

相當於變換了參考系。由線性空間的定義，新的基矢展開為原基矢的線性組合，即

$vec{e}_j=sum_i vec{e}_i M_{ij}$

寫成矩陣形式為

$left(nbegin{array}{cccc}nvec{e}_1&vec{e}_2&...&vec{e}_nnend{array}nright)n=nleft(nbegin{array}{cccc}nvec{e}_1&vec{e}_2&...&vec{e}_nnend{array}nright)nleft(nbegin{array}{ccccc}nM_{11} &... & M_{1n} n... & ...& ... nM_{n1} &... & M_{nn} nend{array}nright)nn$

其中矩陣 $M=(M_{ij})$ 稱為基的變換矩陣。

進一步地，將上式代入恆等式 $sum_i alpha_i vec{e}_i =sum_i alpha_ivec{e}_i$

可得變換前後的坐標關係為

$left(nbegin{array}{c}nalpha_1nalpha_2n...nalpha_n nend{array}nright) n=nleft(nbegin{array}{ccccc}nM_{11} &... & M_{1n} n... & ...& ... nM_{n1} &... & M_{nn} nend{array}nright)nleft(nbegin{array}{c}nalpha_1nalpha_2n...nalpha_n nend{array}nright)$

2）相似矩陣

考慮線性變換 $T(vec{v}_1)=vec{v}_2$ ，選取空間的基為 ${vec{e}_1,vec{e}_2,...,vec{e}_n}$ .由線性變換的定義，可知該線性變換可由下式確定

$T(vec{e}_j)=sum_i vec{e}_i L_{ij}$ （1）

而取定了基之後，任一向量可表為 $vec{v}_1=sum_j alpha_j vec{e}_j$ .

則它經線性變換後得到

$T(vec{v}_1)=T(sum_j alpha_j vec{e}_j)=sum_j alpha_j T(vec{e_j})$ （2）

再代入（1）式，有

$T(vec{v}_1)=sum_j alpha_jT(vec{e_j})n=sum_{i,j}L_{ij} alpha_j vec{e}_i$ （3）

其中 $L_{ij}$ 即為取定基 ${vec{e}_1,vec{e}_2,...,vec{e}_n}$ 下的線性變換係數，形成一個矩陣 $L=(L_{ij})$

這個矩陣即表示了取定基 ${vec{e}_1,vec{e}_2,...,vec{e}_n}$ 下的線性變換。

下面我們運用基的變換，來求線性變換 $T$ 在另一套基 ${ vec{e}_1 vec{e}_2 ,... ,vec{e}_n }$ 下的矩陣表示，並由此引出同一個線性變換的矩陣表示在不同基下，是相似的。

沿用（3）式，我們有

取定基 ${vec{e}_1,vec{e}_2,...,vec{e}_n}$ 下的線性變換 $T(vec{v}_1)n=sum_{i,j}L_{ij} alpha_j vec{e}_i$

則取定基 ${vec{e}_1,vec{e}_2,...,vec{e}_n}$ 下的線性變換記為 $T(vec{v}_1)n=sum_{i,j}L_{ij} alpha_j vec{e}_i$

由於是同一個線性變換，有恆等式 $sum_{i,j}L_{ij} alpha_j vec{e}_in=sum_{i,j}L_{ij} alpha_j vec{e}_i$ （4）

寫成矩陣形式

$left(nbegin{array}{c}nalpha_1nalpha_2n...nalpha_n nend{array}nright) nleft(nbegin{array}{cccc}nvec{e}_1&vec{e}_2&...&vec{e}_nnend{array}nright)nleft(nbegin{array}{ccccc}nL_{11} &... & L_{1n} n... & ...& ... nL_{n1} &... & L_{nn} nend{array}nright)n=nleft(nbegin{array}{c}nalpha_1nalpha_2n...nalpha_n nend{array}nright) nleft(nbegin{array}{cccc}nvec{e}_1&vec{e}_2&...&vec{e}_nnend{array}nright)nleft(nbegin{array}{ccccc}nL_{11} &... & L_{1n} n... & ...& ... nL_{n1} &... & L_{nn} nend{array}nright)$

而由基的變換和坐標的變換有

代入上式，最終可得矩陣 $L$ 和 $L$ 的關係，即

$L=M^{-1}LM$

即矩陣 $L$ 和 $L$ 是相似矩陣。

參考資料

【1】《線性代數》同濟版