固體中能帶是怎麼形成的

寫一期和拓撲材料稍微弱相關的文章，拓撲材料的分析主要也是分析能譜，因此也算是和拓撲材料有關的話題 :). 結尾有彩蛋

這學期帶了一個本科三年級學生Christophe做科研，目標就是讓他在一個學期內學會分析材料的拓撲性質。上個星期的任務就是用第一性原理軟體計算GaAs的能帶，並且理解能帶的形成過程。每周一是討論的時間，也是他交作業的時間。這次的作業讓我非常滿意，特意在此給大家分享一下（已經獲得了Christophe的授權）。

作業的內容是：改變GaAs的晶格常數，從20Bohr到10.68Bohr，觀察能帶的變化過程，同時學會使用Fat-band（即帶有原子軌道投影權重的能帶）。

下圖是答案：當晶格常數為20Bohr時，原子間距離得太遠，因此表現出來的是一個一個的能級，也就是圖中平帶。 當晶格常數減小的時候，能級之間就有了雜化，於是就出現了具有展寬的能帶。參照以下Christophe畫的三幅圖，從上到下，分別對應晶格常數從大到小的過程。

很可惜知乎不支持動圖，想看動圖的朋友，請點這個 我是動圖，你不點一下嗎？

單個氫原子能級

首先默認大家都知道量子力學的能級概念，每個原子都有屬於自己的能級，可以量子數來標記，如下圖所示的氫原子能級圖：

請注意：對於單個原子來說，這個能級圖的橫軸沒有任何意義，只是因為如果標記成一個點的話，會很費眼睛的。

雙原子

現在我們考慮兩個氫原子在一起的情況，如果兩個氫原子離得比較遠，那麼這兩個氫原子可以認為是孤立的原子，他們的能級都是相同的。如果一定要把它當成是一個系統，那麼我們可以認為這個系統中有一個能級，但具有雙重簡併（這裡我們只考慮最低能級，而且不考慮自旋的簡併），對應的是下圖a的情況。 當兩個原子離得很近的時候，如圖b所示，兩個原子的波函數會發生交疊，物理上叫雜化。在這種情況下，量子力學告訴我們原來雙重簡併的能級就會劈裂成兩個無簡併的能級。這裡順帶提一下，兩個劈裂的能級之間的間距隨著原子之間的距離越近而越大，這個可以直接對應到能帶的寬度。

N個氫原子排列在一起情形

如果N趨近於無窮大，N個能級之間就沒有間隙，注意，這裡還沒有引入能帶的概念。 引入能帶的概念，需要再引入一個定理---布洛赫定理：在周期性勢作用下的電子波函數具有一個好量子數k，k的取值為，a為最小原胞的大小，N為原胞個數。我們這裡假設了經過N個原胞後第N個原胞和第一個原胞相連。(具體證明請移步能帶理論的布洛赫定理)

接下來是能帶的關鍵了。在布洛赫定理的保證下，我們知道每個能級都有一個好量子數k，k的取值不一樣。 這樣的話，我們就可以考慮將那個原來沒有橫軸的一維能級圖展開成橫軸為好量子數k的二維圖。從下圖中，我們可以發現，能帶的寬度和能級的劈裂直接向對應。當原子間距很大的時候，能級劈裂很小，因此能帶的寬度很小，因此你看到的能帶很平。 隨著原子間距減小，原子之間的耦合增強，能級劈裂也變大，能帶的寬度也隨之變大。

總結：能帶只不過是將能級在好量子數k空間中的展示而已。

Open question：

以上解釋了能帶的來源，最後提一個問題讓大家思考。 我們知道Dirac點的形成是由某些對稱性保證的，同時也知道如果多了對稱性的話，好量子數也會變多。這裡我們具體到由四度旋轉C4對稱性保護的Dirac點（參考Cd3As2)，這個Dirac點是由C4的兩個不可約表示、對應的能帶交叉而形成的。從上面我們的討論來看，我們可以將橫軸擴展為和拼接而成（鐵磁材料的能帶也是將自旋上和自旋下的能帶分開畫的）。那麼原來交叉的能帶變成不交叉了，從此Dirac點消除了，那麼Dirac的性質還在嗎？應該怎麼去理解這個問題呢？

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以上。

噠噠，彩蛋來了

來自材料基因論壇(http://bbs.materialsgene.org) 2017年3月12日