鞅與停時與賭徒必勝策略與生男生女（下）

01-27

大家新年好。這次的題圖是拉斯維加斯的威尼斯人酒店的賭場。裡面到處都是老虎機...概率論的起源就是賭博，本篇還要考慮賭徒的策略，放個賭場圖片還是很對的。我在這裡輸掉了身上所有的零錢（四刀），算是給帕斯卡上供了。

上次說到，考慮一個filtration $mathcal{F}_n$ , 即一個遞增的 $sigma$ 域序列。然後考慮一列隨機變數 $X_n$ 。假設 (i) $mathbb{E}|X_n|<infty$ 。(ii)每個 $X_n$ 對 $mathcal{F}_n$ 可測。 (iii) $mathbb{E}(X_{n+1}|mathcal{F}_n)=X_n$ 。這就是一個鞅。一般取 $mathcal{F}_n=sigma(X_1,X_2,cdots,X_n)$ ，即n時刻的所有已知信息。

考慮一個隨機變數 $N$ ,取值範圍是 ${1,2,cdots}cup{infty}$ .如果對每個 $n<infty$ ，都有 ${N=n}inmathcal{F}_n$ ,則稱 $N$ 是一個停時。上面的 ${N=n}$ 可以換成 ${Nle n}$ 或 ${N>n}$ .

假設 $N$ 是一個賭徒停止賭博的時刻。停時是說，賭徒在n次賭博之後，亦即知道了前n次賭博的所有信息 $mathcal{F}_n$ 後，知道是否不賭了（ $Nle n$ 或 $N>n$ ）。這就是停時名字的來源。比如說，賭徒決定連贏三把就不賭了，停止條件能夠由當前信息決定，所以是個停時。如果賭徒決定，如果下一把會輸，就不賭了，就不是個停時。因為當前信息決定不了是否停下。

對於兩個停時 $S$ 和 $T$ ， $Svee T$ 和 $Swedge T$ 都是停時，其中 $vee$ 是取大， $wedge$ 是取小。特別地，由於常數總是個停時， $Swedge n$ 是個停時。

對於停時 $N$ ，可以定義在時刻 $N$ 的信息，即 $mathcal{F}_N$ . 如果事件 $A$ 滿足 $Acap{N=n}in mathcal{F}_n$ ，則 $A$ 在 $mathcal{F}_N$ 中。特別地， $N$ 對 $mathcal{F}_N$ 可測。

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我們關心的，是對於一個賭博系統（比如擲硬幣），考慮一個事先設定好的賭博策略（比如輸了加倍），以及對應的停止條件（比如輸光了賭本就不賭了），停止時有多少錢。

賭博系統加上策略，假設是個鞅 $X_n$ 。停止條件是個停時 $N$ (要求以概率1小於無窮)。那麼就是考慮 $X_N$ 或 $mathbb{E}X_N$ 的值。

首先有個定理， $X_{Nwedge n}$ 是個鞅，有 $mathbb{E}X_{Nwedge n}=mathbb{E}X_{Nwedge 0}=mathbb{E}X_0$ 。也就是說，如果強制在某個固定時刻結束賭局，停止時的錢的期望和一開始一樣。特別地，如果停時有界 $N<k$ ，那麼一定是不賺不賠，因為 $Nwedge k=N$ 。

如果停時無界，那就比較複雜了。假設擲硬幣，每次賭一塊錢，賭本無限，首次贏錢後結束，那麼停止時不賺不賠。但如果停止條件改成「手裡的錢首次超過賭本」，那麼結束的時候一定賺了一塊錢。而且可以驗證這個停時以概率1小於無窮。

關於 $mathbb{E}X_N=mathbb{E}X_0$ 需要的條件，有「可選停時定理」(optional stopping theorem)。

先定義一致可積鞅(uniformly integrable martingale)。如果

$lim _{Mto infty} [sup_i mathbb{E}(|X_i|;|X_i|>M)]=0$ ，則稱 $X_n$ 為一致可積鞅。

可選停時定理1：如果 $X_{Nwedge n}$ 是個一致可積鞅，則 $mathbb{E}X_N=mathbb{E}X_0$ 成立。可以知道，如果 $N>k$ 的概率隨 $k$ 下降足夠快，那麼條件成立。

這個條件比較難驗證。有另一個較弱的版本。

可選停時定理2：假設 $|X_{n+1}-X_n|$ 有界，且 $N$ 的期望小於無窮，則 $mathbb{E}X_N=mathbb{E}X_0$ .

可以看出「手裡的錢首次超過賭本」這個策略的用時期望是無窮，所以上述定理失效。

對於現實中的賭博，假設是個公平賭博（鞅）。由於賭徒和莊家賭本有限， $|X_{n+1}-X_n|$ 有界成立。由於每次賭博的下注有最小單位（一個籌碼），容易驗證某一方破產的用時期望小於無窮。作為一個賭博策略，破產了就沒法再賭了，所以停止條件肯定包含了破產，於是 $N$ 的期望小於無窮。那麼由於上述定理， $mathbb{E}X_N=mathbb{E}X_0$ 。期望是不賺不賠，沒有什麼必勝策略。

對於生男生女，比如生男生女概率各50％，每個家庭都生到第一個男孩就不再生，那麼產生的男女比例是多少？ - Mather King 的回答 - 知乎，也是一樣。如果策略是生到第一個男孩為止，那麼可以用上述定理，停止時男女一樣多。如果策略是生到男孩比女孩多一個，那麼用時期望是無窮，不能用上述定理，而且停止時確實男孩比女孩多。

最後講個段子。給定矩陣A，學生們都會算QR分解A=QR。作業題里給了一個具體的矩陣V，求QR分解。有個學生問我：道理我都懂，但是A在哪？我想：問的好，我也不知道鴿子為啥這麼大。

還是上次的問題：知乎邀請我開概率論相關的live，你們覺得該講啥？上次有人提的東西我根本不懂，而且受眾太窄，不適合作為live內容。