一名工科生眼中的數學分析（中）

4. 定義了極限的四種映射

數學學不好，最大的癥結在於對基本概念的認知不清，包括對其定義本身的認知不清以及此概念所屬範圍的認知不清，前者導致用不對後者導致不知道何時用。這一部分，也不會深入細節，主要目標是將數分中不同的概念分門別類，知道它從何而來，可屬於哪一塊。

4.1 序列（數列 ）

有了極限概念之後，就可以研究一些特殊的序列以及集合的更多性質，主要包括以下概念：

• 柯西序列，一種在自身元素之間用語言定義的序列。
• 集合的完備性，如果集合的柯西序列都收斂，則是完備的，實數集是最小的完備數集。
• 集合的緊緻性，如果集合的任何序列存在一子序列收斂，則是緊緻的，實數集上的閉區間是緊緻的。
• 級數，也即序列的和。將級數轉化為研究 序列前項和 構成的序列，而序列我們是熟悉的。。

4.2 一元函數（）

在極限基礎上，函數上可以定義一些新概念。事實上，數分里就講了如下三種：

• 連續性

• 可微性（微積分學的支柱之一）

• 可積性（微積分學的支柱之二）

對於每一個性質，都有三個問題需要解答：

1. 是什麼？（這個性質是如何定義的）

2. 什麼是？（怎麼樣才能滿足這個性質）
3. 是又怎麼樣？（有了這個性質，有啥特別的或者有啥用）

4.2.1 連續性

是什麼：通過極限定義何為在一點連續，在整個定義域連續則為連續函數。

什麼是：通過定義就可以幫助判斷函數在一點是否連續，從而是否為連續函數。

是又怎麼樣：

• 連續函數的四種運算（映射的四種運算）都能保持連續性。

• 連續函數保持收斂性，也即極限與函數可交換次序。

• 連續函數保持緊緻性，定義域緊緻那麼值域也緊緻。依此有最大值原理—緊緻集合上，連續函數在某點取最大值。

• 連續函數保持連通性，中值定理—連通定義域上，若某值在值域中兩值之間，定義域存在一點可得此值。

• 在緊緻集合上，連續函數還具有一致連續性。

4.2.2 可微性

是什麼：通過極限定義何為在一點可微，在整個定義域可微則為可微函數。【註：在分析中，最好杜絕採用幾何概念（如斜率來定義導數）這種交叉思考的行為，幾何直觀雖然有一定意義，但在分析中，直觀並不總能起作用。】

什麼是：通過定義就可以幫助判斷函數在一點是否可微，從而是否為可微函數。

是又怎麼樣：

1. 通用微分法則，在同一點都可微的函數加減乘除運算 、數乘、複合（鏈法則）。反函數導數法則。
2. 導數的用途（微分中值定理系列，由導數性質來研究函數性質）：

• 判定極值和函數方向，一階導數為零，二階導數正負，用多個中值定理可證明；
• 單調性，函數在一點可微，且導數嚴格正，則函數嚴格單調，拉格朗日定理；
• 洛必達法則，求型或者型極限，柯西定理；
• 泰勒定理在近似計算中的應用。

4.2.3 可積性

不定積分

先談一下不定積分，它的定義比較簡單。直接從微分的逆運算入手，一個函數的微分運算可獲得導函數，而不定積分則為「導函數」的原函數族。

定積分

是什麼：平時說的定積分就是Riemann積分，定積分是一個集合到一個數的映射，如果不想涉及面積之類幾何方面概念的話，定積分的定義還是得鋪墊很多東西的。函數Riemann積分定義為如果函數上下Riemann積分相同，稱為Riemann可積，上下Riemann積分是通過逐段常值函數逼近的。

什麼是：通過Riemann積分的定義來判斷是否可積是複雜和困難的，不過對於一大類函數卻是有一些重要結論的：

• 有界區間上，一致連續函數，是可積的。
• 有界區間上，（逐段）連續且有界函數，是可積的；閉區間上，連續函數，是可積的。
• 有界區間上，單調且有界函數，是可積的；閉區間上，單調函數，是可積的。

是又怎麼樣：

1. 通用積分法則（在同一定義域都可積，部分給出積分計算公式，部分只給出可積性）：

• 可積函數的加減和數乘，有積分計算公式。
• 可積函數的乘法、max和min、取絕對值，是可積的。
• 可積函數非負，定積分非負。
• 定義域可拆分，分別積分。

2. 定積分的用途：

• 積分中值定理，積分與函數值的關係，可以幫助去掉一層積分號，在一些證明中有用。
• 幾何問題，求曲線所圍面積、求光滑曲線弧長（求長公式）、曲率（曲率公式）。
• 工程、力學中常用的微元法，定積分本身就是從經典力學而來。
• 定積分的近似計算，直接運用定積分定義。

可積條件要求定義域和值域都是有界的，從定積分的無限求和的幾何觀點來看，這是必然的。而有時還需要考慮到定義域無界或值域無界的積分，這兩種情形都稱為反常積分，其是用極限和Riemann積分的組合定義的，或者說其本身就是可變限Riemann積分的極限運算而已。

4.2.3 微積分基本定理（微分和積分的聯繫）

1. 微積分第一基本定理：不定積分與微分的聯繫，連續的Riemann可積函數必有原函數（原函數加一個常數構成不定積分）。
2. 微積分第二基本定理（牛頓-萊布尼茲公式）：定積分與不定積分的聯繫，Riemann可積函數的定積分值為其原函數在端點處的差，這個定理提供了計算定積分的一種簡單方法。

微分和積分聯繫起來後，微分的法則可以導出有用的積分運演算法則，適合定積分和不定積分：

• 分部積分法，由可微函數乘法運算微分法則導出。
• 換元積分法，由可微函數複合運算微分法則導出。

4.3 多元函數（）

歐幾里得空間的維度等於1時，退化為一元函數。在一元函數的基礎上，許多概念和結論可以直接遷移到多元函數，然而某些概念則需要重新審視。

極限

多元函數有常規的極限定義，稱為重極限，與一元函數相同。但當依次考慮某個變元的極限（其他變元看成固定值）時，可以定義累次極限。累次極限與重極限是有聯繫的，定理：若某個累次極限（有多個）與重極限都存在，必然相等。

連續性

所有相關概念和結論與一元函數相同 。

可微性

一元函數導數的定義用到了除法，而有序多元組（用幾何的概念就是向量）的除法未定義，不過其乘法是已成功定義的，通過乘法定義的弊端就是無法通過定義來計算導數，只能通過定義來驗證某值是否是導數，而且此時需要證明全導數是唯一的。

對於全導數只知道全導數的結構（一個有序多元組），但是不知道具體的計算方法。不過根據一元函數導數定義的方式，只要分母可除，就可照葫蘆畫瓢來定義，這就是為何會有偏導數，方嚮導數這些概念。

1. 偏導數，定義為多元函數沿著坐標軸方向的導數。
2. 方嚮導數，定義為多元函數在一點沿著某個方向的導數。

3. 全導數，試出來的，將偏導數組成有序多元組代入全導數定義式成立，由於全導數唯一，如此便找出了全導數的計算方法。多元函數可微定理：多元函數所有偏導數都存在且連續，那麼函數是可微的（充分條件，這條定理可以驗證函數可微性，用定義驗證複雜）。

具體說來，全導數表達式為，而標量場中有梯度為，其與全導數本質相同，只是一個採用矩陣方式表示，一個用幾何概念向量表示。

若函數也是有序多元組也即向量函數，值域屬於，那麼此時全導數表達式如何呢？處理方法是只要對向量函數的分量函數分別處理即可，全導數可用導數矩陣來描述。

在此基礎上，有如下幾個知識點很重要：

• 多元函數鏈法則，，複合函數複合函數的全導數。

• n階連續可微（函數屬於）：所有階偏導數（包括混合偏導）連續，一元函數有相同概念。Clairaut 定理：二階連續可微，二階混合偏導可換序。

• 反函數定理，對於，在某點如果方陣可逆，則在此點局部有反函數，且。

• 隱函數定理，函數連續可微，在某點滿足且，那麼存在一個函數滿足，在處可微且，用鏈式法可直接證明。

可積性

既然多元函數可以對一個變元定義偏導，可以定義方嚮導數（思路都是當做一元函數處理），那麼其對於單變元定義積分也就不奇怪了。

• 含參積分：只留一個變元，其他變元都認為是已知量，那麼此時與一元函數的積分完全一致，當然積分出來的結果含有其他變元。
• 累次積分：對於不同變元依次進行含參積分，如果每次都可積的話，累次積分存在。
• 重積分：Riemann積分的定義也適合多元函數，重積分的概念源自於這樣一條定理：多元函數在某定義域上是Riemann可積的，如果累次積分存在，那麼累次積分與Riemann積分相同。閉區間上，如果函數連續，那麼任何次序的累次積分都存在且相等。