力學（六）—哈密頓力學之哈密頓方程與泊松括弧

01-27

哈密頓力學一般是指以哈密頓函數為主函數的力學體系。哈密頓函數一個羅斯函數的一個顯然的推廣：將朗格朗日力學中的所有的 $[{q_k},{dot q_k}]$ 換成 $[{q_k},{p_k}]$ 即可，事實上，這也正是數學上定義的勒讓德變換。

將 $L$ 中顯含的時間 $t$ 視作參數不參與變換，我們有：

$[dL({q_k},{dot q_k}) = sumlimits_k {frac{{partial L}}{{partial {q_k}}}d} {q_k} + sumlimits_k {frac{{partial L}}{{partial {{dot q}_k}}}d{{dot q}_k}} ]$

按照動量定義式 $[{p_k} = frac{{partial L}}{{partial {{dot q}_k}}}]$ 和拉格朗日方程： $[{{dot p}_k} = frac{{partial L}}{{partial {q_k}}}]$ 帶入上面的式子：

$[dL({q_k},{{dot q}_k}) = sumlimits_k {{{dot p}_k}d} {q_k} + sumlimits_k {{p_k}d{{dot q}_k}} ]$

我們的目標是讓上面的式子不含 $ddot q_k$ ，所以利用 $[{p_k}d{{dot q}_k} = d({p_k}{{dot q}_k}) - {{dot q}_k}d{p_k}]$ 帶入上面的式子:

$[dL({q_k},{{dot q}_k}) = sumlimits_k {{{dot p}_k}d} {q_k} + sumlimits_k {d({p_k}{{dot q}_k})} - sumlimits_k {{{dot q}_k}d{p_k}} ]$ 簡單的合併一下得到：

$[d(sumlimits_k {{p_k}{{dot q}_k}} - L) = - sumlimits_k {{{dot p}_k}d{q_k} + sumlimits_k {{{dot q}_k}d{p_k}} } ]$ 那麼根據全微分的定義，被微分的函數是 $[{q_k},{p_k}]$ 的函數，那麼定義 $[H = sumlimits_k {{p_k}{{dot q}_k}} - L]$ 就是很自然的。

對於主函數為 $H(p_k,q_k,t)$ ，寫出它的全微分，有：

$[dH = - sumlimits_k {{{dot p}_k}d{q_k} + sumlimits_k {{{dot q}_k}d{p_k}} } ]$

所以： $[frac{{partial H}}{{partial {q_k}}} = - {{dot p}_k},frac{{partial H}}{{partial {p_k}}} = {{dot q}_k}]$ ,左邊的方程也稱作哈密頓方程，他與前面的拉格朗日-歐拉方程的信息完全一樣。

也就是，哈密頓力學給出了力學的另一個表述形式。

啟動哈密頓力學有一些絕妙的好處，首先是其上可以定義一個代數（事實上，無歧義來說，代數是指的一個線性代數，而我們這裡事實上是一個李代數，如果你沒有學過高等代數，請忽略。）

考慮一個力學量，在 $(p_k,q_k)$ 張成的空間中，哈密頓已知，為了探討這個量，我們考慮做他的全微分：

$[df({p_k},{q_k},t) = sumlimits_k {(frac{{partial f}}{{partial {p_k}}}d{p_k} + frac{{partial f}}{{partial {q_k}}}} d{q_k}) + frac{{partial f}}{{partial t}}dt]$ ，由於系統的哈密頓已知，系統的全部信息都已經被獲取，事實上任何力學量都只依賴於時間，帶入哈密頓方程，消去 $d{q_k}$ , $dp_k$ ，得到：

$[frac{{df}}{{dt}} = frac{{partial f}}{{partial t}} + sumlimits_k {(frac{{partial f}}{{partial {q_k}}}} frac{{partial H}}{{partial {p_k}}} - frac{{partial f}}{{partial {p_k}}}frac{{partial H}}{{partial {q_k}}})]$ ，用一些帶有啟發性的標記標記括弧中的內容：

$[frac{{df}}{{dt}} = frac{{partial f}}{{partial t}} + sumlimits_k {frac{{partial left( {H,f} right)}}{{partial (p_k,q_k)}}} ]$ ，

引入泊松括弧：

$[left{ {H,f} right} = sumlimits_k {frac{{partial (H,f)}}{{partial ({p_k},{q_k})}}} ]$

那麼

$[frac{{df}}{{dt}} = frac{{partial f}}{{partial t}} + sumlimits_k {frac{{partial left( {H,f} right)}}{{partial (p,q)}} = } frac{{partial f}}{{partial t}} + sumlimits_k {frac{{partial left( {H,f} right)}}{{partial (p,q)}} = } frac{{partial f}}{{partial t}} + {left{ {H,f} right}_{p,q}} = left[ {frac{partial }{{partial t}} + left{ {H, cdot } right}} right]f]$

那麼抽調出「算符」的形式，有：

$[frac{d}{{dt}} = frac{partial }{{partial t}} + { H, cdot } ]$

回想牛頓力學中，轉動參照系的導數，即考慮一個矢量在原參考系的導數和轉動參考系的導數，有：

$[{left. {frac{{dvec G}}{{dt}}} right|_{fixed}} = {left. {frac{{d vec G}}{{d t}}} right|_{rot}} + vec omega times vec G;]$ ，抽調成算符： $[{left. {frac{d}{{dt}}} right|_{fixed}} = {left. {frac{d }{{d t}}} right|_{rot}} +vec omega times ]$

我們自然的聯想到，泊松括弧這個二元算符（指有兩個量參加運算，如：加法、減法、乘法等），和叉積的相似性。事實上，這個在代數學中講的很清晰，這裡就不展開了。如果你沒有學過高等代數學，這兩個相似性的啟發可以作為一個你學習高等代數學的激勵。

這一節就以構造出泊松括弧為結束。下一節我們看看哈密頓力學和泊松括弧的應用（尋找力學守恆量，劉維爾定理和絕熱近似不變數）。