【樂理101】2. 一生二，二生三，三生音律

• 本期知識點：

1. 好聽純正的音程關係是由簡單整數倍構成的。

2. 純律中的所有音程都是由2，3，5這三個倍數關係的組合構建出的。

3. 在純律中，純五度和大三度是一個音高與它的3/2倍和5/4倍之間的音程距離。

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

0. 給初學者的閱讀建議：

前三課的重點是音程的概念，第一課中介紹了純八度，第二課定義了大三度和純五度，而第三課帶大家認識了半音、全音、以及純八度中的「度」，這三個音程單位。

第二課中你需要牢記八度，五度，和大三度的音高倍數關係2，3/2，和5/4，並理解八度>五度>大三度。而在第三課中需要明白半音是音程的測量單位，唱名之間的音程可以用半音個數衡量，並能夠背出所有唱名與Do[1]之間的音程關係以及半音個數。

在第二和第三課中，我們還會聊到音樂的律制。對於理工科的讀者來說，對律制的理解會幫助你們更好地理解音程的意義，以及音樂的發展過程。而如果純律和十二平均律的推理太過複雜，你可以暫時忽略，不會影響未來的閱讀。

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

第一堂課，我們介紹了八度是音高的兩倍關係，並且提到：音程就是音和音之間音高上的差距，這個差距（更確切的說是倍數關係）是可以量化的。這一講，我們來討論一下音樂家是如何在一個八度裡面挖掘出好聽的音程關係的，即Do Re Mi Fa Sol La Ti和它們之間的音程是怎麼被定義出來的，並由此為下一講引出「十二平均律」這個概念做鋪墊。

今天的內容會涉及一些初高中數學。但是在進入算數前，大家要知道一個現象。人耳除了能夠體會八度之外，對有簡單整數倍關係的音高頻率組合會感到相對協和，而對複雜倍數關係的音高頻率組合會感到相對的不協和。物理學上，由簡單倍數關係的頻率組成的波，其在物體上的振動模式更為規則，而這種振動的規則性對人來講就比較悅耳。倍數越小就越協和，因此我們可以用這個規則來挑選八度中的音程關係。

1. 八度、五度與三度

現在已經知道了，某個音高Do[1]，它頻率的兩倍或四倍的音，分別是高了一個或兩個八度的Do[8]和Do[15]。那麼問題來了：它的三倍和五倍音高都是些什麼音呢？

首先，Do[1]的三倍音高，我們在現代音樂體系中把它定義為Sol[12]，是比原八度內的Sol[5]高了一個八度的Sol。根據八度的二倍關係，在原有整數倍數上任意地乘以或除以很多個兩倍之後，依然會得到同樣的唱名。因此，原八度的Sol[5]它的頻率是Do[1]的3/2倍，而3/2倍在音程上被定義為純五度，簡稱五度。

基於二倍關係的純八度是最協和穩定的，以至聽上去顯得過於堅固厚重。而基於三倍的純五度關係協和度僅次於純八度，聽感依舊穩定，卻相比多了一分韻味。

同樣的，Do[1]的五倍音高被定義為Mi[17]，是比Mi[3]高了兩個八度的Mi。於是，原八度中的Mi[3]它的頻率是Do[1]的5/4倍， 而5/4倍在音程上被定義為大三度。大三度的協和穩定性比五度又要次一些了，但是它更具有色彩感。（這裡不用糾結「大」和「純」是什麼意思，第四課介紹音程度數時就會詳細講到。）

音樂其實是遊走於協和與不協和之間的，並不是越協和就越好聽。協和的音程會帶來穩定的體驗，而不協和的音程卻能為樂曲增色。對大腦來說，音樂太過穩定了就會很沒勁，太過「粗糙」不協和了就成了噪音。就跟燒菜一樣，協和的音程就是音樂里的飯菜，不協和的音程就是油鹽醬醋，一般人燒菜都會放一些佐料，放多了容易齁住，放少又會沒胃口。當然，有的人重口味一些，有的口味比較淡，每個人的音樂的品味也各不相同。在協和與不協和的兩級中找到平衡是音樂能給人帶來好奇和愉悅感的秘訣。

雖然大三度已經開始變得不如八度和五度那麼穩定了，但是從聽覺上它還是太協和了，以至於如果一個音樂只用Do Mi Sol來作曲的話，若沒有很豐富的節奏，大概大家都會睡著的。所以我們需要往食物里添加更多的佐料，即更多不同的音程關係。

2. 純律

現在知道了Mi和Sol是怎麼來的， 下面說說八度中的其他唱名都是怎麼來的。

由於一個音的二倍四倍都是八度，三倍六倍都是五度，而五倍是大三度，如果要按照整數倍從小往大去找全新的音程關係的話，下一個就需要用七倍來定義了。這個七倍音在當時的音樂家看來不是很協和，不適合邀請它加入。所以他們選擇另闢蹊徑：既然我們已經定義好了的純八度純五度和大三度這三個協和的音程關係，何不通過拼接組合這三個音程來形成新的唱名和音程呢？

音樂家們確實這麼做了。憑藉著兩倍、三倍、五倍這三個簡單倍數，他們定義出了一套完整的Do Re Mi Fa Sol La Ti的音程關係。這個以八度，大三度，和純五度為基礎衍生出音階上音程關係的方法被叫作「純律」。純律是由弦樂上泛音列產生的律制，因其三度音與五度音這兩個音程的倍數簡單，它們組成的大三和弦最為純正悅耳，故得名「純律」。

下面是我整理的一張純律音程關係表（注意音程倍數都是由2,3,5三個數字的乘除構成的）：

如表所示，我們在已有的Do[1]、Mi[3]、Sol[5]、Do[8]四個音之外，在八度內又劃分出了Re[2]、Fa[4]、La[6]、Ti[7]四個音。一共是八個音，有七個獨特的唱名，我們且稱它們「唱名七兄弟」。如果從老大Do[1]出發，到其他七個音可以形成七個不同的音程。（算上Do[1]到它自己的音程，就是八個不同音程。）

由於Mi[3]和Sol[5]在七兄弟里排行老三和老五，這也是為什麼我們把Do[1]到Mi[3]和Sol[5]的音程叫做大三度和純五度。二哥Re[2]的音高是Do[1]的 倍，音程介於純一度和大三度之間，叫做大二度。而介於Mi[3]和Sol[5]之間的四弟Fa[4]距離Do[1]的音程是純四度，其它音程以此類推。

七個唱名的設計非常科學。一方面七個音的搭配已經足以構建出豐富的音樂性，很好的平衡了音與音之間的協和與不協和性；一方面相比細分出一百個唱名來講，七個唱名的設計保證了一般人即使沒有受過訓練，也可以用耳朵區分兩個音的高低不同。

下面解釋一下倍數是怎麼算出來的：

首先，需要明確一個概念：音程度數的加減，是音高頻率在倍數上的乘除。舉例來講：Do[1]音高向上移動純五度得到Sol[5]，音高變為Do[1]的3/2倍。而Sol[5]向上移動純八度得Sol[13]，音高變為Do[1]的 倍。可見，純五度疊加純八度得到的結果是它們所對應的倍數的乘積。

其次，根據八度的定義，音程倍數任意乘除多個二倍，唱名不變。因此，倍數的分母中出現是合情合理的，它可以將音程對應的頻率倍數調控在1-2倍（一個八度）的範圍內。

接下來，解釋一下純四度和大六度的分母為什麼是3而不是2的倍數。四度是由八度減去五度產生的。Do[1]升高五度得Sol，而Fa[4]則是由Do[8]倒過來降低五度得到的。八度是二倍關係，五度是倍，。換一個角度來看，四度也是從Sol[5]到Do[8]之間的音程，算式與上面相同， 。

類似的，Do[1]到La[6]之間的大六度，是由大三度加八度再減五度得到的。我們已經知道，八度去掉五度是四度，所以大六度也等價於大三度疊加一個四度，。甚至你也可以把它理解為是Do[1]的三倍音高Sol[12]到五倍音高Mi[17]之間的音程，5除以3依然是倍。

最後，大二度=五度+五度-八度，大七度=五度+大三度。

綜上所述，純律中所有的音程都是由大三度、純五度、純八度三種音程拼接得到的。當我們明確了純律里所有的音程倍數，我們也就繼Do Mi Sol之後，定義了Re Fa La Ti各自的位置。

然而，純律是有缺陷的。如果我們來比較一下Re[2]到Fa[4]的音程關係的話，會發現這個音程是一個遠遠比其他音程複雜的倍數關係，更糟糕的是從Re[2]到La[6]的音程。大家將來會理解，音程不一定要從Do[1]向上數起，也可以從別的音算起。Re[2]到La[6]之間其實和Do[1]到Sol[5]一樣，是一個五度的音程。純五度本來的音高倍數應該是3/2=1.5倍，現在卻偏離了1.23%。若在一個本來就不協和的音程上做微調那還好。但是，在本來極其穩定的五度上，細微的音程變化是相當明顯的。這就造成以純律定調的樂器在演奏某些音程時聽上去會不協和。

這個問題早在純律之前的五度相生律就存在了。五度相生律，古稱三分損益律，是僅由八度和五度衍生出來的律制，所有的音程都是由二倍和三倍的數學關係組合出來的（見）。因此和純律不同，五度相生律中大三度的倍數是81/64。雖然五度相生律讓五度達到了最協和的音程倍數*，但它的大三度相比純律聽上去可就沒這麼純正了！（點擊可以觀看五度相生律的視頻講解）

那麼存不存在什麼辦法可以讓八度內的所有音程都符合簡單整數倍數關係，從而變得好聽呢？

答案是不存在。我們知道2，3，5都是質數，而質數之間是沒有整數倍的，也無法通過乘除組成新的質數。但是，確實有一種方法，可以在不滿足簡單整數倍的情況下，讓所有的音程之間都變得好聽，這個方法就叫做十二平均律，是我們下一講的話題。

總結一下，這節課我們介紹了三度和五度是如何被定義的，以及由此產生的純律，純律中其他的音程與唱名。下一講會基於純律的缺點進行改進，介紹十二平均律這個定律手法，以及平均律為什麼會被廣泛使用在鋼琴吉他等樂器中。

<<<看完文章請點個贊，你的舉手之勞可以幫助更多愛樂者享受到這篇內容。>>>

P.S.

1. 這篇文章看完之後，除了可以嘗試課後練習之外，強烈推薦大家點擊下方鏈接進入音頻演示區，用音頻來直觀地體驗一下八度中每一個音程的協和與不協和感。你可以將它們與純律表中的音程的音高倍數作對照，親自感受倍數的簡單程度與音程的協和性的關係。這對將來的學習大有幫助。切記，學習音樂，不能只學習樂理，同時也需要訓練你的耳朵，聽懂音樂，記住音樂，創造音樂。不然就淪為了紙上談兵。

鏈接：【樂理101】3+. 十二，一個神秘數字引發的革命（輔助材料）

2. 純律不只有一個，它是用小的整數倍數發展出的音律的集合。本文中特指的，用2,3,5三個質數作為基礎的純律叫5-limiting tuning（以最大的質數作為名稱中的數字），翻譯過來就是「最大的因數為五的調律」，只是純律中的一種。而用2,3,5,7四個質數作為基礎的純律就叫7-limiting tuning。這樣說來，五度相生律其實也是純律的一個特例，用2,3兩個質數為基礎，因此也叫3-limiting tuning。

3. 五度相生律中有一個五度並不協和，降Re與降La，被稱作「狼音程「」，Wolf interval。

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• 課後練習：（以下練習基於「純律」，請用第一張純律的表格作參考，別看錯咯~）

Q1: Do[1]的倍音高是高八度的哪個音，它的唱名是？那6倍音高呢，6倍音高和3倍音高之間是什麼度數關係？

Q2: 高八度的Fa[11]，它的音高頻率是原八度Do[1]的幾倍？它的音高頻率是原八度Fa[4]的幾倍？

Q3: 根據純律的音程關係，請問Do[1]的9倍音高，15倍音高分別是什麼唱名？

Q4: Re[2]和Mi[3]之間的音程是什麼倍數關係？

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• 上期答案：

Q1: 如果Do[1]的頻率是261.6Hz（中央C），那麼請問Do[8]，Do[15]的頻率分別是多少？

A1: 分別是二倍523Hz和四倍1046Hz。（注意：高兩個八度是四倍不是三倍）

Q2: 如果La[13]的頻率是440Hz，那麼請問La[6]的頻率是多少？

A2: 低八度的La是220Hz。

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• 音樂術語英文單詞表：

純五度：Perfect fifth

大三度：Major third

調律：Tuning

純律：Just Intonation

五度相生律: Pythagorean tuning （畢達哥拉斯Pythagoras就是發現勾股定理的那位古希臘人，這個調音法據說是他最早提出的）

協和與不協和：Consonance vs. Dissonance

十二平均律：Equal temperament

泛音：Harmonic

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• 擴展閱讀：

1. 不協和音程使人感到不協和的原理是什麼？ - 音樂 - 知乎

對協和的感知應該是由「和弦中的音的泛音重疊多少」所決定的

P.S. 當我們在彈奏鋼琴或者吉他的一個音時，比這個音的頻率高2,3,4,5...倍的聲音也會混在這個音裡面一同發出，這些音就叫做泛音。具體泛音的知識，我們將來會講到。

2. 畢達哥拉斯怎麼找到 Do Re Mi？

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

目錄：【樂理101－樂理原來可以這麼學】：目錄

序言：【樂理101－樂理原來可以這麼學】：序言

上一篇：【樂理101】1. 「八度空間」的八度

下一篇：【樂理101】3. 十二，一個神秘數字引發的革命

推薦閱讀：