理性疏忽與離散選擇：多元Logit模型的新基礎

在計量經濟學中，（多元）Logit模型是非常常用的建模離散選擇的計量工具。而傳統上，Logit模型通常是在假設了extreme value distribution之後，通過消費者的效用最大化函數得到的。當然實際情況是，沒有任何的經濟理論支持為什麼消費者的偏好雜訊服從extreme value distribution。而Filip Matejka和 Alisdair McKay 2014年AER上的文章《Rational inattention to discretenchoices: A new foundation for the multinomial logit model》通過不完全信息下「理性疏忽」的角度，提出了多元Logitn模型的一個新的基礎。

我們來考慮一下如下的問題：

消費者對出行工具的選擇，是非常經典的離散選擇模型問題。現在假設各種不同的交通工具：紅色巴士、藍色巴士和鐵路。在這裡，與之前的假設不同的是，不同的出行方式其收益是確定性的而非隨機性的，只是由於不完全信息，消費者並不知道各種交通工具的確切收益。比如在本例中，鐵路的收益為R，但是消費者並不知道紅色和藍色巴士的收益究竟是(0,0)、(0,1)、(1,0)、(1,1)中的哪一種。

由於不知道真實的收益，消費者對紅色和藍色巴士的收益究竟屬於哪一個State有一個先驗的認識，假設消費者的先驗認為兩種巴士的收益的相關係數為ρ。

與一般的不完全信息博弈問題一樣，消費者可以獲得一個信號s，但是在觀察到這個信號之後，消費者必須付出一定成本才能更準確的理解這個信號，即得到真實狀態的更為準確的信息。比如消費者可能可以通過詢問朋友、上網查詢等得到更多的知識來學習紅色和藍色巴士的收益究竟是state 1/2/3/4中的哪一種。但是無論是詢問朋友、上網查詢，都需要付出一定的時間和人力成本。

觀察收益矩陣，我們可以看出，如果R>=1，那麼消費者不會花任何成本搜集信息，因為選擇鐵路總是最好的選擇；如果R=0.5，ρ=-1，那麼總有一種巴士是優於鐵路的，所以消費者可能會為搜集巴士的信息而付出一定成本；如果ρ=1，消費者知道兩種巴士的收益都是一樣的，同樣也不會為信息付出成本。

以上的過程我們通常稱之為「理性疏忽」（rational inattention），即消費者有不完全的信息，然而收集信息是需要付出成本的，因而理性的消費者可能會選擇放棄收集這部分信息，或者說乾脆忽略某些選擇。注意在這種建模中，與之前不同的是，不同選擇的收益是確定的，僅僅是由於消費者的不完全信息導致了選擇的隨機性。

再比如，公司招聘可能也是一個理性疏忽的過程。公司從篩簡歷開始就排除了一些他們認為不符合要求的，比如對學歷等進行一定的篩選，然後通過面試等，選出那些公司認為符合要去的。這樣的篩選工作即是理性疏忽：也許那些學歷比較低的候選者有能力很強的，但是對這些候選者收集信息（面試）的成本小於預期收益，所以這些簡歷就被理性的公司忽略掉了。

正式的模型包含了一系列的行動集A={1,...,N}，vi為行動i的payoff。問題分為兩個階段：在第一階段，消費者首先選擇一個信息策略來形成自己的belief；第二個階段，根據消費者的belief，做出行為選擇。

首先來看第二階段，假設B為消費者的信念，那麼消費者會最大化期望效用：

而其選擇。

在第一階段，消費者首先有一個對於狀態的先驗G，然後收到一個信號s。消費者的學習過程或者信息策略可以描述為一個聯合分布函數F(s,v)，為了消費者的後驗分布與先驗分布相一致，必須要去F的邊際分布等於先驗分布G，因而消費者主要通過選擇F(s|v)來形成後驗F(v|s)。消費者的最大化問題為：

而獲得消息的成本通過熵減來定義：

其中H為信息熵：

熵越大代表不確定性越強，而熵減越多，代表消費者收集了足夠多的關於真實state的信息，同時消費者也必須付出足夠多的成本。其中λ為信息的影子價格。

限於篇幅所限，求解過程略去不介紹，感興趣的可以查看原文。作者通過計算得到，最終消費者選擇的條件概率為：

即給定狀態v，消費者選擇i的概率為Logit 形式。但是注意這個Logit形式是加權的，權重為每種選擇的非條件概率。作者指出，如果消費者的先驗是可交換的，即對選擇交換次序，先驗分布G是一樣的，那麼最終的選擇就完全滿足Logit形式：

此外，作者還對多元Logit的一個極為特殊的性質：independence of irrelevantnalternatives (IIA) axiom 做了進一步討論，限於篇幅所限不再贅述，感興趣的讀者可以參考原文。

也許以後進行離散選擇建模的時候，除了之前的隨機效用框架之外，我們又多了一個新的理論手段來建立自己的模型。不完全信息下的rational inattention還是非常符合直覺，而且很酷的一個模型。