正三角形三個頂點有三個點，每個點都追逐順時針另一個點運動，以這三個點的做一個圓，這個圓的半徑會變小嗎？

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有三個點，分布在一個正三角形的三個頂點上，每個點都追隨逆時針另一個點運動，三個點同時開始運動且速度相同，運動過程軌跡是怎樣的？
三個點任意一個都對另外的兩個點沒有其他影響。
圖畫的不好，海涵。

可以將速度分解成一個圓周運動和一個向心運動的結合。

設三個點分別為 $A(a,0)$ ， $Bleft(acos(frac{2pi}{3}),asin(frac{2pi}{3}) ight)$ ， $Cleft(acos(frac{4pi}{3}),asin(frac{4pi}{3}) ight)$ 。由對稱性的可知，所有三個點的運動狀態本質上是相同的，只不過是繞著中心點旋轉 $frac{2pi}{3}$ 罷了，所以我們可以只專註於一個點。比如A好了。

假定速度的大小是 $v$ ，設 $x$ 和 $y$ 方向的單位矢量為 ${f e}_x$ 和 ${f e}_y$ ，極坐標 $r$ 和 $heta$ 的單位矢量是 ${f e}_r$ 和 ${f e}_ heta$ 。那麼由對稱性可以發現，速度在極坐標分解下的大小和方向都不變，也就是

$egin{aligned} {f v}=dot{x},{f e}_x+dot{y},{f e}_y\ =dot{r},{f e}_r+rdot{ heta},{f e}_ heta\ =-frac{vsqrt{3}}{2},{f e}_r+frac{v}{2},{f e}_ heta end{aligned}$

列出微分方程

$left{egin{array}{l} dot{r}=-frac{sqrt{3}v}{2}\ rdot{ heta}=frac{v}{2} end{array} ight.$

並注意邊界條件 $r(0)=a$ 和 $heta(0)=0$ 得

$r(t)=a-frac{vsqrt{3}}{2}t$ ， $heta(t)=frac{sqrt{3}}{3}lnleft|frac{2a}{2a-vsqrt{3}t} ight|$

所以A點的軌跡為( $0leqslant tleqslantfrac{2sqrt{3}a}{3v}$ )

$left(left(a-frac{vsqrt{3}}{2}t ight)cosleft(frac{sqrt{3}}{3}lnleft|frac{2a}{2a-vsqrt{3}t} ight| ight), left(a-frac{vsqrt{3}}{2}t ight)sinleft(frac{sqrt{3}}{3}lnleft|frac{2a}{2a-vsqrt{3}t} ight| ight) ight)$

B點軌跡為

$left(left(a-frac{vsqrt{3}}{2}t ight)cosleft(frac{2pi}{3}+frac{sqrt{3}}{3}lnleft|frac{2a}{2a-vsqrt{3}t} ight| ight), left(a-frac{vsqrt{3}}{2}t ight)sinleft(frac{2pi}{3}+frac{sqrt{3}}{3}lnleft|frac{2a}{2a-vsqrt{3}t} ight| ight) ight)$

C點軌跡為

$left(left(a-frac{vsqrt{3}}{2}t ight)cosleft(frac{4pi}{3}+frac{sqrt{3}}{3}lnleft|frac{2a}{2a-vsqrt{3}t} ight| ight), left(a-frac{vsqrt{3}}{2}t ight)sinleft(frac{4pi}{3}+frac{sqrt{3}}{3}lnleft|frac{2a}{2a-vsqrt{3}t} ight| ight) ight)$

假如 $a=1$ 且 $v=1$ 的話，畫個圖

給一個埃舍爾的圖作為參考。拋磚引玉。

會的，且並且如果速度為1，初始圓的半徑為1，則圓的縮小速率會是當前半徑的√3/2倍。且三個點會以1/2的角速度繞對稱中心旋轉。所以最終結果是，等角螺線。

回去給微分方程。

v矢量在任意時刻可以分解成指向圓心的分量和繞圓心圓周運動的分量。換言之，一邊轉一邊縮圈。

然後上面那幾個分量和v的夾角以及它們的大小都是恆定的，極坐標解即可。

內螺曲線運動，彙集中心在重心。

參看費馬螺線（等角螺線）