我站在地球北極迅速旋轉一周，如何解釋太陽以超光速繞我轉了一周？

01-27

假設我站在地球的北極，然後迅速旋轉一周，然後假設以我為參考系，則太陽必然以超光速繞著我轉了一圈，但是愛因斯坦說物體運動速度不能超過光速，如何解釋這個矛盾？

我又來用本(min)科(ke)水平的相對論知識硬答了。

在相對論中，由於速度具有相對性，我們一般不說一個物體「速度低於/等於/高於光速」，而是用物體在時空中的4-位移來描述其運動「快慢」。一般地，用物體的4-位移 $s$ 表述，物體在時空中的軌跡可以分為三種：

類時 $mathrm{d}s^2<0$ ；

類光 $mathrm{d}s^2=0$ ；和

類空 $mathrm{d}s^2>0$ 。（本文中 $mathrm{d}cdot^2$ 總表示 $(mathrm{d}cdot)^2$ 而非 $mathrm{d}(cdot^2)$ ）

在我們所熟悉的」慣性系「中，4-位移的公式為 $mathrm{d}s^2=-mathrm{d}t^2+mathrm{d}x^2+mathrm{d}y^2+mathrm{d}z^2.$ 注意到這一公式和四維歐幾里得空間中距離定義的相似性（這裡省略了 $mathrm{d}t^2$ 前面的係數光速平方 $c^2$ ：我們將光速作為」單位速度「而直接將其設為1）。在相對論中， $mathrm{d}s^2$ 表徵時空中鄰近兩點間距。與間距在各個坐標方向上的投影 $mathrm{d}t^2,mathrm{d}x^2,mathrm{d}y^2,mathrm{d}z^2$ 不同， $mathrm{d}s^2$ 不應隨坐標系變動而變化，就像一根旗杆在不同的太陽高度下影子長度會有所變化，但本身長度保持恆定。我們看到， $mathrm{d}s^2<0$ 等價於 $(mathrm{d}x^2+mathrm{d}y^2+mathrm{d}z^2)/mathrm{d}t^2<1,$ 即物體運動速度小於1（光速）。相似地，類光和類時分別對應物體運動速度等於和大於1。

無論是相對論還是牛頓的時空觀都認為，參考系的改變對應著3+1維時空中坐標系 $txyz$ 的變化。通常來說，由於時空未必平直，我們通常只討論某一點附近的局域坐標架。但當時空平直時，我們可以輕易地將局域上的坐標架平直地延伸至整個時空。但當我們本身不處在局部慣性系中時，這樣的延伸可能會帶來問題。原因就在於上述簡明的4-位移公式並不適用於任意參考系所對應的坐標系。例如，在題目提到的旋轉參考系 $txyz$ 中， $mathrm{d}s^2$ 的計算公式有了變化， $mathrm{d}s^2<0$ 並不再等同於 $(mathrm{d}x^2+mathrm{d}y^2+mathrm{d}z^2)/mathrm{d}t^2<1$ 了。

我們可以具體地分析一下這個問題。為了簡單起見，我們假設自己處在一個空曠的宇宙中。在離我們非常遠的地方有一個星體。我們和星體都幾乎不受外力作用，整個時空中引力很弱，可以視為平直。一開始，我們和星體都處在完美的慣性系中，並且相對靜止。這裡說的慣性系，是指不受除引力以外的力作用的參考系。可以想像，如果我們從懷裡掏出一個蘋果放在身旁，這個蘋果會乖乖地呆在我們身邊（或者勻速運動），而不會加速離我們遠去。這時，我們就處在一個良好的慣性系中。選取合適的（全局）空間坐標，使得我們和星體同處在 $xy$ 平面上。從此以後我們忽略剩餘的一個空間坐標 $z$ 。此時，我們有 $mathrm{d}s^2=-mathrm{d}t^2+mathrm{d}x^2+mathrm{d}y^2$ 。現在，我們在 $xy$ 平面上逆時針旋轉，轉速為 $omega$ ，並且認為我們面朝的方向為 $x$ 方向，我們的左手方向為 $y$ 方向，而我們的時間坐標不變： $t=t$ 。為了構造一個與題設相吻合的全局坐標架，我們「自然」地將這一坐標架延伸出去（認為宇宙中任何一點的時刻與我們的本地時刻相同；在給定時刻，將空間坐標平直延伸），得到一個新的全局坐標系 $txy$ 。兩套坐標系的空間部分在 $t=t$ 時刻夾角為 $omega t$ 。

如圖所示，紅色坐標架為 $t$ 時刻的旋轉系空間標架 $xy$ 。遙遠的星體在時空中沿著藍色軌跡運行。星體軌道上端在慣性系中的坐標為 $(t,x,y)$ ，在旋轉系中的坐標則是 $(t,x,y)$ 。通過簡單的計算我們可以得出兩套坐標系間的關係：

$egin{aligned}t=t,\x=xcosomega t-ysinomega t,\ <center> <script src=$

y=xsinomega t+ycosomega t.

end{aligned}" eeimg="1">

現在我們可以考慮 $mathrm{d}s^2$ 在坐標系 $txy$ 中的表達式了。但在此之前，我們先檢查一下該坐標架與題主設想的參考系是否相吻合。我們希望在我們旋轉時，遙遠星體相對於我們做圓周運動，運動速度為 $omega R$ ，其中 $R$ 為我們和星體之間的空間距離。我們看到，在慣性系中的 $(t,x,y)$ 點在 $txy$ 坐標系中的坐標變為 $(t,x,y)=(t,xcosomega t+ysinomega t,-xsinomega t+ycosomega t)$ ，且 $x^2+y^2=x^2+y^2,$ 星體確實繞著我們以 $omegasqrt{x^2+y^2}$ 的速度旋轉。我們成功地用一個快速旋轉著的坐標架鋪滿了全宇宙。

將上述坐標關係帶入 $mathrm{d}s^2=-mathrm{d}t^2+mathrm{d}x^2+mathrm{d}y^2$ ，經過簡單但易錯的計算可以得到：

$mathrm{d}s^2=[-1+omega^2(x^2+y^2)]mathrm{d}t^2+mathrm{d}x^2+mathrm{d}y^2-2omega ymathrm{d}tmathrm{d}x+2omega xmathrm{d}tmathrm{d}y.$

顯然比之前在 $txy$ 系中複雜不少，是不是？簡單分析一下這一公式蘊含了該坐標系中怎樣的幾何性質。如果 $mathrm{d}t=0$ ，我們得到 $mathrm{d}s^2=mathrm{d}x^2+mathrm{d}y^2$ ，這便是二維歐氏空間中的距離公式。我們選取的旋轉系坐標並不改變任何空間上的性質。然而我們發現， $mathrm{d}s^2<0$ 再也不和 $(mathrm{d}x^2+mathrm{d}y^2)/mathrm{d}t^2<1$ 等價了。

事實上，在旋轉系中，星體做圓周運動，有 $(mathrm{d}x^2+mathrm{d}y^2)/mathrm{d}t^2=omega^2(x^2+y^2).$ 像題主設想的那樣，它完全可能大於光速1。但是 $mathrm{d}s^2$ 呢？在慣性系中，該星體乖乖地呆著不動，自然有 $mathrm{d}s^2=-mathrm{d}t^2<0,$ 星體做類時運動。而如果你不放心，可以在旋轉系中用新的4-位移公式重新計算 $mathrm{d}s^2$ 。只要將 $t=t, x=Rcosomega t, y=Rsinomega t, R=sqrt{x^2+y^2}$ 代入旋轉系中的4-位移公式，我們將重新得到 $mathrm{d}s^2=-mathrm{d}t^2<0$ 的結論。我們看到星體在 $txy$ 系中「超光速」，實際上卻做類時運動。

另外，考慮一個永遠在（旋轉中的）我們正前方距離為 $x_0$ 的物體。我們發現，它的空間坐標永遠為 $(x_0,0)$ ，因此恆有 $mathrm{d}x=mathrm{d}y=0$ 。這意味著 $(mathrm{d}x^2+mathrm{d}y^2)/mathrm{d}t^2=0:$ 它在旋轉系中是不動的。但是如果 $x_0$ 夠大（它距離我們足夠遠），且 $omega$ 足夠大（我們旋轉得足夠快），則 $mathrm{d}s^2=[-1+omega^2(x_0^2)]mathrm{d}t^2$ 完全可能等於甚至大於0。此時這一看似靜止的物體實際在沿著類光甚至類空軌道運動。可以料想，在慣性系中看來，這一物體的運動便是（超）光速的了（這樣運動的物體在實際中當然不可能出現）。

在一個看似自然的旋轉坐標系中，我們不僅得到了超光速的類時軌道，還得到了靜止的類空軌道。這說明了」速度低於光速「這類過度依賴做標架選取的表述並不總能反映真實的物理。這就是為什麼我們應當選取一個在坐標變換下不變的物理量 $mathrm{d}s^2$ 來描述物體的運動快慢。在相對論中，我們這樣表述」有質量物體不得（超）光速運動「這一事實：有質量物體在時空中總沿類時軌道運動。

總結一下。我們構架了一個全局的坐標架，並用它來描述旋轉系中物體的運動。在此過程中，我們遇到的困惑完全來自於過於隨意地延伸了局部的坐標系--我們武斷地認為遙遠星體理應同我們共用相同的時刻，最後卻發現遙遠星體可能超光速運動, 星體所用的時間軸則可能類空(當然, 這並沒有什麼"錯誤", 只是不符合我們的常識中對"超光速"和"時間"的期望而已)。許多情況下，我們只局域地討論參考系和坐標架。在局域上，儘管坐標架的選取仍能有一定任意性（在一些較平凡的情形下仍可能出現類時軌道上空間增量平方 $mathrm{d}x^2$ 與時間增量平方 $mathrm{d}t^2$ 之比大於1的情況），但只要合理地選擇類時的時間軸和類空的空間軸，我們就不至於會發現「靜止卻類空」這類耐人尋味的現象。

我想愛因斯坦所說的物體運動速度不能超過光速是指能量或者信息的傳遞速度吧。

如果太陽的運動可以被觀測，那麼觀測結果一定不會超過光速。就像如果太陽此刻消失了，我們仍然會被繼續照耀8分鐘，對於我們來說，我們觀測的是攜帶太陽歷史信息的光子而已，我個人覺得這個問題的關鍵在於同時性的定義上。畢竟物理最後要靠觀測結果來說話。

在非平直時空下，一般不存在一個全局的坐標系，觀測者無法定義遠處一個物體在其世界線的何處是和自己現在是同時的，更別提為其定義一個時標。最簡單的例子可以考慮將1+1維的狹義相對論直接推廣到一個的圓環上，會發現無法寫出一個單值連續的洛倫茲變換。

基於這種考慮，廣義相對論從來只從局域著手處理問題，一個物體只有當其與觀測者在時空上重合時，觀測者才能談論與其的相對速度。因此題主談論的這個速度是不符合廣義相對論對於速度的約定的。

事實上廣相中只有局域速度這件事，不注意的話會發現很多「超光速」的例子，常被提起的就是依照哈勃定律，宇宙膨脹速度「超光速」

這種情況下，這樣的運動並沒有傳遞信息，所以並不受相對論的限制。像快速移動足夠遠影子，雖然影子的速度有可能超過光速，但信息並不能超過光速。

我記得有本書上說到了一種自旋速度是光速10倍的粒子，但這種運動本身並不能傳遞信息，所以在物理上也可以存在。

和影子一個道理

如果在我們自轉的時候，我們並沒有感受到兩手似要抬起（離心力）那麼可以認為我是靜止的。太陽確實超光速了。但是但是，我們感受到了離心力。哦，原來只是自己轉而已。（如果以自己的位置和旋轉為參照系的話，應和靜止時感受相同，這其實是可以以位置參照但不能以旋轉參照。旋轉只是身體的每一個原子在做平移而已。）

通過這個問題，我感覺知乎用戶的水平真的是越來越低了。

我不是嘲諷題主，我是在嘲諷那些嘲諷題主的人。你們在看到這個問題之後真的有用腦子認真的思考了一下嗎？還是瞟了一眼，從直覺上覺得這個問題很可笑，然後就把題主嘲諷一番？

這個問題非常有意思，但從牛頓力學上來解釋的話，你只能得出結論，在這個轉動參考系中，太陽的速度是可以超過光速的（日地距離平均14960萬km，光速30萬km/s，用很慢的角速度轉就可以了）。所以題主的這個問題真的很有意思。

只有引入相對論的觀點，才能夠把這個「悖論」給澄清。恕本人才疏學淺，相對論只懂皮毛，就不在這獻醜了。

如果有興趣的話，可以看 @善解人意哈士奇推薦的那本書《新概念物理力學篇》，牛頓相對時空觀的困難和慣性的起源中馬赫的觀點。

有些專業人士答得長了，我歸結個簡單得大家都能看懂的，愛因斯坦說的那恰恰是參照系不變的情況下，事物無法超出光速，也就是專業術語中的「慣性參照系」之下

而當你以自己為參照系，然後飛速將這個參照系改變的情況下，這就是非慣性參照系了——改變參照系是犯規行為，因為我也可以說我這一秒以銀河係為原點，下一秒以十億光年外的某河外星係為原點，好啦，現在整個銀河系在我的坐標繫上，在一秒鐘內運動了十億光年，我創造了神跡！

本來想從頭寫個科普文章的，結果感覺太長了，就簡略說一下吧。

（以下每句話連續讀十遍繼續下一句話可以獲得最好的食用效果）

1.有沒有超光速，實際上是看物體會不會跑到光錐外面去。平直時空下光錐朝向時間軸方向，接近時間軸代表空間位置得變化很小。

2.在平直時空慣性系裡，空間中任何一點的光錐都是一樣的。因此可以隨便平移使用。

3.加速度等效於時空「彎曲」。

3.1.補充，這裡的彎曲並不是物理上的彎曲，只是一種形象的說法，嚴格來說就是克氏符非零。

4.在「彎曲」的時空中，時空中不同點之間的光錐朝向和形態都不同。平移它比較複雜，要算一大堆。

5.在這個問題中，太陽的光錐被加速度等效成的「彎曲」時空搞成了朝向空間一邊的。

6.這時候太陽「超光速」正常，不超光速反而不正常。

7.一切都是看光錐！

8.一個最簡單的方法是，你先在慣性系裡畫好太陽上的光錐，再把轉動參考系考慮進去。但是顯然你們不願意這麼處理問題。這個題最有趣的地方在於兩種視角的對比。

9.圓盤的模型經常被用來聯繫狹義和廣義相對論，討論它的一些獨特性質的時候很有可能與等效的彎曲時空有關。

ps:1.有人提到光速不能作為參考系，與這個問題無關。

2.有人提到關於一些可超光速的東西不是實體，顯然與這個問題也無關。

3.和馬赫的觀點好像也沒關係。

4.要是能看到一個合適的答案，鬼才寫這麼多字！看不到啊！

關於知乎的風氣，其他答案嘲笑得低端之類的話題，你們繼續噴吧，我就是來裝逼的，裝完就跑真刺激。

匿名之

看了幾位專業人士的答案，感覺我的回答的確有些不準確，對狹義相對論和廣義相對論的界限有一些誤區，希望大家多關注其他解釋，本答案只當簡單介紹一下非慣性系吧

-----------------------------------------------------

題主想的這個「悖論」，不光是沒考慮狹義相對論效應的問題（類似的問題還包括自行車前掛燈超光速、兩個物體各以2/3光速遠離超光速等），還有一點比較tricky的地方，就是題主引入的參考系是一個非慣性參考系。

下面是維基百科關於慣性參考系的描述：

牛頓第一定律成立的參考系，稱為慣性參考系，簡稱慣性系。反之，牛頓第一定律不成立的參考系，稱為非慣性參考系，簡稱非慣性系。

對一切運動的描述，都是相對於某個參考系的。參考系選取的不同，對運動的描述，或者說運動方程的形式，也隨之不同。人類從經驗中發現，總可以找到這樣的參考系：其時間是均勻流逝的，空間是均勻和各向同性的；在這樣的參考系內，描述運動的方程有著最簡單的形式。這樣的參考系就是慣性系。

一個參考系是不是慣性系，只能由試驗確定。最基本的判據就是牛頓運動定律成立與否。根據伽利略相對性原理，和一個慣性系保持相對靜止或相對勻速直線運動狀態的參考系也是慣性系。在實踐中，人們總是根據實際需要選取近似的慣性參考系。比如，在研究地面上物體小範圍內的運動時，地球是一個很好的慣性系。在研究太陽系中天體的運動時，太陽是一個很好的慣性系。

題主這個參考系，是一個會轉圈的人，我們可以抽象為一個奇點，然後相應引出x、y、z軸。當這個人沒動時，我們就說他是個慣性參考系吧（因為只看地球和太陽的相對運動那把地球北極或地心當參考系看太陽和把太陽當參考系看地球是對稱的，可以當做慣性參考系）。但是，一旦這個人轉起來（它的三軸也轉起來了）他相對於地球北極就有加速度了（向心加速度），由於這個參考系相對於一個慣性參考系有了加速度，它將變成非慣性參考系。

非慣性系中，光速是可以變化的。非慣性系的光速是個很模糊很複雜的問題，一般涉及到彎曲時空的數學表述。

完

======================================================================

補充：

關於這個問題，樓主當然不是第一個想到的人。愛因斯坦自己早就想過非慣性系裡的光速問題，不過數學上確實很複雜。其實不光是光速表達的問題了，甚至連能量守恆定律的表達都成了問題了。

給兩個reference吧：

科學網—相對論對話錄3

http://www.phyw.com/wytk/xtwzh/lixuesheng/gxsk/gsbbyldjsh/gsbbyldjsh.htm

李巨格的講法很漂亮，Yahao的講法太形式化對樓主來說太深奧，更適合受到過一定訓練的人來看。（當然其實講的是一回事）

我再換一種說法說同樣的事情：太陽的運動速度超過c是因為你的參考系不是慣性系。

雖然狹義相對論可以解決（平直時空里）非慣性系的問題，但是其實所有狹義相對論的理論都是建立在（平直時空里）慣性系們之上的。所有狹義相對論結果未經檢驗都不能直接用於非慣性系。解決非慣性系裡的問題，都是與相應慣性系聯繫起來在相應慣性系裡計算。

PS1:狹義相對論中，慣性系是特殊的參考系。從度規的角度看它是使度規正交歸一化的坐標系。

PS2:把狹義相對論幾何化之後，慣性系中的幾何量可以直接拿到非慣性系中用。比如先給出慣性系中的閔氏度規的分量，之後因為非慣性系中的度規是同一個，把它坐標變換後就得到非慣性系中度規的分量形式。這也算某種意義上的「用慣性系計算」，因為度規是由慣性系的度規變換過來的。

PS3:「固有時是世界線的長度」的論斷，如果不當成公理，那麼為了證明它，可以用狹義相對論的鐘慢效應，但是還需要外加「固有時和加速度無關」的假設。有了這個假設，才能處理非慣性系的問題（因為常常需要研究相對慣性系有加速度的物體的本徵時間）。

以你為坐標系，如果你轉了一圈，那就等於你旋轉了坐標系。想要考慮速度，就必須在同坐標系中。

或者說你要考慮兩者的相對速度，那麼你就的把兩者想像成質點，對於質點，沒有自轉。

這是 @善解人意哈士奇說的那段馬赫的觀點

為啥要在北極轉？夏天中午太陽直射的時候在地上打個滾不就行了嗎？

後來我覺得在太陽下山前原地轉圈也可以有同樣的效果並可能對身體的傷害會小一些。

不建議從相對論角度回答，應該從數學空間坐標系角度回答。簡而言之就是你想做一道菜（以你為中心視線為r方向改變坐標系方便思考），開了火（把變數，如夾角theta，轉換到你的坐標系）卻沒加菜（沒算Jacobian矩陣來轉換變數）。順便，Cartesian大法好。

好吧，我來科普，用小學生聽得懂的話，比如說：越接近光速的物體相對於其他物體時間就過得越慢，到了光速時世界在你眼裡就是靜止了

設a和b是迎面接近的接近光速的物體。兩個物體相對速度多少？

答案是不超過光速，為什麼，因為接近光速的物體里的時間是接近靜止的，也就是說另一道光的速度被拖慢了，拖慢到絕對不可能a加b大於光速

這裡a是a的視角的速度，b是a的視角的速度，b的速度在a看來很慢，因為a的時間減速了，所以看起來b很慢，b的速度取決於a的速度。當a真正達到光速時b不動了。

泥萌再不懂我就跳樓了！！！

分頁阅读： 1 2 3